Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 14. Точка A находится на расстоянии 4 от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Это расстояние равно

Answer 1

Ответ:

9

Объяснение:

В плоскости, на равном расстоянии от вершин треугольника, находится центр окружности, описанной около этого треугольника, при этом прямой угол опирается на дугу 180° (вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается), а это значит, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности, описанной около этого треугольника, а середина гипотенузы является центром этой окружности.

Следовательно, если из середины гипотенузы восстановить перпендикуляр над плоскостью треугольника, то точка А будет находиться на этом перпендикуляре на расстоянии 4 от плоскости.

Решение:

1) Длина гипотенузы треугольника:

с = √(8²+14²) = √(64+196) = √260

4) Расстояние d от точки А до вершин треугольника, согласно теореме Пифагора:

d² =  (√260/2)² + 4² = 260/4 + 16 = 65 + 16 = 81

d = √81 = 9

Ответ: 9  

Answer 2

Расстояние от точки a до плоскости треугольника равно 4, а расстояние от точки a до вершин треугольника также равно 4.

Поскольку точка a находится на равном расстоянии от вершин треугольника, то она находится на серединном перпендикуляре, проведенном к каждому из катетов.

Таким образом, точка a находится на серединном перпендикуляре к катету 8 и на серединном перпендикуляре к катету 14.

Серединный перпендикуляр к отрезку называется прямой, проходящей через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку.

Для нахождения точки a на серединном перпендикуляре к катету 8, мы могли бы найти середину катета 8 и провести перпендикулярную прямую через нее. Аналогично, для нахождения точки a на серединном перпендикуляре к катету 14, мы могли бы найти середину катета 14 и провести перпендикулярную прямую через нее.

Следовательно, точка a находится в точке пересечения этих двух прямых перпендикуляров.

Для нахождения этой точки пересечения, мы можем применить свойство пересечения прямых: если две прямые пересекаются, то координаты точки пересечения будут являться решением системы линейных уравнений, соответствующих уравнениям этих двух прямых.

Таким образом, мы можем найти координаты середин катетов и составить систему уравнений для нахождения координат точки a.

Допустим, первый катет с координатами A(0,0) и B(0, 8). Тогда его середина будет иметь координаты M(0, 4).

Второй катет с координатами C(0,0) и D(14, 0). Тогда его середина будет иметь координаты N(7, 0).

Теперь у нас есть две прямые, проходящие через эти точки середин катетов: одна проходит через точки A и M, а другая - через точки C и N.

Уравнение прямой, проходящей через точки A и M, можно записать в виде y = k1x + b1, где k1 - наклон прямой, b1 - свободный член.

Из координат точек A(0,0) и M(0,4) мы можем выразить наклон прямой k1 = (4-0)/(0-0) = не определено (так как x не меняется).

Тогда уравнение прямой будет иметь вид x = 0.

Аналогично, для уравнения прямой, проходящей через точки C и N, мы можем записать его в виде y = k2x + b2.

Из координат точек C(0,0) и N(7,0) мы можем выразить наклон прямой k2 = (0-0)/(7-0) = 0/7 = 0.

Тогда уравнение прямой будет иметь вид y = 0.

Таким образом, система уравнений для нахождения координат точки a будет иметь вид: x = 0 y = 0

Решая эту систему, мы находим, что координаты точки a равны (0,0).

Итак, точка a находится в начале координатной плоскости. Ее расстояние от плоскости треугольника и от его вершин равно 4.