Question

9 клас дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 3 см. знайдіть третю сторону трикутника якщо вона у √3 разів більша за радіус описаного кола

Answer 1

1.

У нас есть ΔABC.

AB = 5см; BC = 3см; AC = √3R.

Угол B — острый.

По теореме синусов: отношение стороны, к синусу противоположного угла, равно: 2R.

То есть:

$></p><p></p><p>Теперь на известен угол B, и 2 прилежащие к нему стороны, по теореме косинус — сторона AC равна: </p><p><img src=$

Вывод: третья сторона равна √19см.

2.

Угол B — тупой, то есть его косинус — отрицательный.

То есть по теореме косинусов:

$AC = \sqrt{AB^2+BC^2-2AB*BC*\cos B}\\\\AC = \sqrt{5^2+3^2-2*5*3*(-0.5)}\\\\AC = \sqrt{49} = 7cm.$

Вывод: третья сторона равна 7см.

Answer 2

Для знаходження третьої сторони трикутника, потрібно використовувати теорему Піфагора або відомості про співвідношення сторін та радіус описаного кола. Давайте спробуємо використати другий підхід:

1. За теоремою про радіус описаного кола та сторон трикутника, ми можемо записати вираз для радіусу описаного кола (R) у такий спосіб:

R = (a * b * c) / (4 * Площа трикутника),

де a, b і c - сторони трикутника.

2. Виразимо площу трикутника через формулу Герона:

Площа трикутника = √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)],

де p - половина периметра трикутника, тобто (a + b + c) / 2.

3. Підставимо вираз для площі в вираз для радіусу:

R = (a * b * c) / [4 * √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]],

4. Тепер ми можемо підставити значення a = 5 см і b = 3 см:

R = (5 * 3 * c) / [4 * √[p * (p - 5) * (p - 3) * (p - c)]],

5. Тепер виразимо p через a, b і c:

p = (a + b + c) / 2 = (5 + 3 + c) / 2 = (8 + c) / 2 = 4 + c/2.

6. Підставимо отриманий вираз для p назад у рівняння для радіусу:

R = (5 * 3 * c) / [4 * √[(4 + c/2) * (4 + c/2 - 5) * (4 + c/2 - 3) * (4 + c/2 - c)]],

7. Спростимо це рівняння:

R = (15c) / [4 * √[(4 + c/2) * (4 - c/2) * (1 + c/2) * (c/2)]],

R = (15c) / [4 * √[(16 - (c/2)^2) * (1 + c/2) * (c/2)]],

R = (15c) / [4 * √[16 - (c/2)^2] * √(1 + c/2) * √(c/2)],

R = (15c) / [4 * 4 * √[16 - (c/2)^2] * √(1 + c/2) * √(c/2)],

R = (15c) / [16 * √[16 - (c/2)^2] * √(1 + c/2) * √(c/2)],

R = (15c) / [16 * √[16 - (c/2)^2] * √(1 + c/2) * √(c/2)].

8. Тепер нам потрібно виразити c, знаючи, що вона у √3 рази більша за радіус описаного кола:

c = √3 * R.

9. Підставимо це значення назад у рівняння для R:

R = (15 * √3 * R) / [16 * √[16 - ((√3 * R)/2)^2] * √(1 + (√3 * R)/2) * √((√3 * R)/2)].

10. Тепер ми можемо спростити це рівняння і виразити R:

R = (15 * √3 * R) / [16 * √[16 - (3R^2/4)] * √(1 + (3R/2) * √3) * √(3R/2)].

11. Поділимо обидві сторони на R, щоб виразити R:

1 = (15 * √3) / [16 * √[16 - (3R^2/4)] * √(1 + (3R/2) * √3) * √(3/2)].

12. Далі розглянемо праву частину рівняння і спростимо його:

1 = (15 * √3) / [16 * √[16 - (3R^2/4)] * √(1 + (3R/2) * √3) * √(3/2)],

1 = (15 * √3) / [16 * √[16 - (3R^2/4)] * √(3/2) * √(3 + 3R * √3) * √(3/2)],

1 = (15 * √3) / [16 * √[16 - (3R^2/4)] * √(9 * (3 + 3R * √3) / 4)],

1 = (15 * √3) / [16 * √[16 - (3R^2/4)] * √(27 + 27R * √3) / 4],

1 = (15 * √3) / [4 * 4 * √[16 - (3R^2/4)] * √(27 + 27R * √3)].

13. Тепер ми можемо спростити це рівняння ще далі:

1 = (15 * √3) / [16 * 4 * √[16 - (3R^