Question

Дан равнобедренный треугольник PQR с основанием PR и точка T внутри него. Пусть ∠PQR=α. Известно, что ∠PTR=2α. На отрезке PT взята такая точка S, что ∠QST=α. Найдите QS, если ST=23, TR=32. СРОЧНО 20 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

QS=55

Объяснение:

Дано: ΔPQR - равнобедренный.

∠Q=α; ∠PTR=2α; ∠QST=α;

ST=23; TR=32.

Найти: QS

Решение:

Пусть ∠SQR=β ⇒∠1=α-β

∠2=∠QST-∠1=α-(α-β)=β (∠QST - внешний)

Рассмотрим ΔSQT.

∠3=∠PTR-∠KST=2α-α=α (∠PTR - внешний)

⇒ ΔSQT - равнобедренный (углы при основании равны)

⇒ ST=TK=23

Рассмотрим ΔQKR.

∠QKR=180°-∠3=180°-α (смежные)

∠4=180°-(∠QKR+β)=180°-180°+α-β=α-β

Рассмотрим ΔQKR и ΔPQS.

PQ=QR (ΔPQR - равнобедренный)

∠1=∠4=α-β

∠SQR=∠2=β

⇒ ΔQKR = ΔPQS (2 признак)

⇒ QS=KR=32+23=55

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться несколькими свойствами углов в равнобедренных треугольниках и угловой суммой в треугольнике.

1. Поскольку треугольник PQR равнобедренный с углом ∠PQR = α, то угол ∠QPR также равен α. Также, угол ∠PTR = 2α.

2. Из условия известно, что ST = 23 и TR = 32.

3. Рассмотрим треугольник QST. Угол ∠QST = α, и угол ∠STQ можно найти, используя угловую сумму в треугольнике QST:

∠STQ = 180° - ∠QST - ∠QTS = 180° - α - 2α = 180° - 3α.

4. Рассмотрим треугольник PTR. Угол ∠TPR = α, и угол ∠PTR = 2α. Также, угол ∠QPR = α.

5. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, мы можем выразить угол ∠QPR следующим образом:

∠QPR = 180° - ∠PQR - ∠QPR = 180° - α - α = 180° - 2α.

6. Теперь мы можем выразить угол ∠QPS, используя факт, что сумма углов внутри треугольника QPS равна 180°:

∠QPS = 180° - ∠QST - ∠STQ = 180° - α - (180° - 3α) = 180° - α - 180° + 3α = 2α.

7. Теперь, рассмотрим треугольник QPS. Угол ∠QPS = 2α, и угол ∠QSP = α. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, мы можем выразить угол ∠QPS следующим образом:

∠QPS + ∠QSP + ∠Q = 180°.

Подставим известные значения: 2α + α + (180° - 2α) = 180°.

Упростим уравнение: 3α + 180° - 2α = 180°, α = 0°.

8. Теперь, когда мы знаем, что α = 0°, угол ∠QST равен 180° - 3α = 180° - 3(0°) = 180°.

9. Таким образом, треугольник QST - это прямоугольный треугольник с углом ∠QST = 180°.

10. Используем теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны QS:

QS² = ST² + QT² = 23² + 32² = 529 + 1024 = 1553.

11. Теперь найдем корень из 1553:

QS = √1553 ≈ 39.42.

Таким образом, длина стороны QS примерно равна 39.42.