Question

Дан равнобедренный треугольник PQR с основанием PR и точка T внутри него. Известно, ∠PTR в 2 раза больше, чем ∠Q. На отрезке PT лежит точка S, причем ∠QST=∠Q. Найдите QS, если ST=23, а TR=32.

Answer 1

Ответ:

55  ////////////////////

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать несколько свойств треугольников и углов.

Известно, что треугольник PQR - равнобедренный треугольник, следовательно, угол P и угол Q равны между собой: ∠P = ∠Q. Также известно, что угол ∠PTR в 2 раза больше, чем угол ∠Q. Поэтому угол ∠PTR = 2∠Q.

Рассмотрим треугольник PQT. Из условия известно, что угол ∠PTR = 2∠Q и угол ∠QST = ∠Q.

Таким образом, угол ∠PTS = 180° - (∠PTR + ∠QST) = 180° - (2∠Q + ∠Q) = 180° - 3∠Q.

Теперь рассмотрим треугольник QST. У нас есть два угла этого треугольника: ∠QST = ∠Q и ∠PTS = 180° - 3∠Q. Сумма углов треугольника всегда равна 180°. Поэтому можем записать:

∠Q + (180° - 3∠Q) + ∠Q = 180°.

Решим это уравнение для нахождения значения угла ∠Q:

3∠Q = 180° - 180° + ∠Q,

2∠Q = 0°,

∠Q = 0°.

Теперь, когда мы знаем, что ∠Q = 0°, можем рассчитать длину отрезка QS, используя теорему косинусов в треугольнике QST:

$QS^2 = ST^2 + QT^2 - 2 \cdot ST \cdot QT \cdot \cos(\angle QST).$

Подставляем известные значения:

$QS^2 = 23^2 + 32^2 - 2 \cdot 23 \cdot 32 \cdot \cos(0°).$

Так как $\cos(0°) = 1$, упрощаем выражение:

$QS^2 = 529 + 1024 - 1472,$ $QS^2 = 81.$

Отсюда находим длину отрезка QS:

$QS = \sqrt{81} = 9.$

Итак, длина отрезка QS равна 9.