Question

Даю 30 балів Обчисліть площу підграфіка функції у=cos2x на проміжку [0,П/4]

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Объяснение:

Answer 2

Щоб обчислити площу підграфіка функції \(y = \cos(2x)\) на проміжку \([0, \frac{\pi}{4}]\), потрібно обчислити інтеграл функції на цьому проміжку. Площа під графіком функції на проміжку визначається як інтеграл функції на цьому проміжку і може бути обчислена наступним чином:

\[ \text{Площа} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx \]

Для обчислення цього інтегралу розділимо величину \(2x\) на два множники:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\cos(2x) \, dx \]

Тепер ми можемо використати формулу інтегралу для \(\cos(2x)\):

\[ \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \left[\frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \]

Тепер підставимо верхню та нижню межі і обчислимо інтеграл:

\[ \frac{1}{2} \left[\frac{\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)}{2} - \frac{\sin(2\cdot0)}{2}\right] = \frac{1}{2} \left[\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2} - \frac{\sin(0)}{2}\right] \]

Оскільки \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) і \(\sin(0) = 0\), то вираз спрощується до:

\[ \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2} - 0\right] = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]

Отже, площа під графіком функції \(y = \cos(2x)\) на проміжку \([0, \frac{\pi}{4}]\) дорівнює \(\frac{1}{8}\).