Question

Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно параллельными сторонами ​

Answer 1

Ответ:

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они одновременно острые или одновременно тупые, или в сумме составляют 180°, если один из них острый, а другой тупой.

1) Дано:

∠ВАС - острый,

∠КМЕ - острый,

АВ║МК, АС║МЕ.

Доказать: ∠ВАС = ∠КМЕ.

Доказательство:

Продлим стороны углов до пересечения в точке Н (см. рисунок).

∠1 = ∠3 как соответственные при пересечении АВ║МК секущей АС,

∠2 = ∠3 как соответственные при пересечении АС║МЕ секущей МК, значит

∠1 = ∠2, т.е. ∠ВАС = ∠КМЕ.

2)  Дано:

∠ВАС - тупой,

∠КМЕ - острый,

АВ║МК, АС║МЕ.

Доказать: ∠ВАС + ∠КМЕ = 180°.

Доказательство:

Продлим стороны углов до пересечения в точке Н (см. рисунок).

∠4 = ∠3 как соответственные при пересечении АВ║МК секущей АС,

∠2 = ∠3 как соответственные при пересечении АС║МЕ секущей МК, значит

∠4 = ∠2.

∠1 + ∠4 = 180° (смежные углы), значит ∠1 + ∠2 = 180°, т.е.

∠ВАС + ∠КМЕ = 180°

Answer 2

Theorem on Angles with Corresponding Parallel Sides

To formulate and prove the theorem on angles with corresponding parallel sides, let's consider a quadrilateral ABCD with parallel sides AB and CD, and parallel sides AD and BC.

Theorem: If a quadrilateral has parallel sides, then the opposite angles are congruent.

Proof:

1. Given that quadrilateral ABCD has parallel sides AB and CD, and parallel sides AD and BC.

2. Let's denote the angles of the quadrilateral as follows: - Angle A = ∠A - Angle B = ∠B - Angle C = ∠C - Angle D = ∠D

3. We need to prove that ∠A ≅ ∠C and ∠B ≅ ∠D.

4. From the given information, we can observe the following: - AB || CD (Parallel sides) - AD || BC (Parallel sides)

5. Using the properties of parallel lines, we can deduce the following: - ∠A and ∠C are corresponding angles with respect to parallel sides AB and CD. - ∠B and ∠D are corresponding angles with respect to parallel sides AD and BC.

6. According to the theorem on corresponding angles, if two parallel lines are intersected by a transversal, then the corresponding angles are congruent.

7. Therefore, we can conclude that ∠A ≅ ∠C and ∠B ≅ ∠D.

8. Hence, the theorem is proved.

Note: The proof of this theorem relies on the properties of parallel lines and the theorem on corresponding angles. By using these properties, we can establish the congruence of opposite angles in a quadrilateral with parallel sides.