Question

В цилиндр вписана призма, основанием которой служит прямоугольный треугольник. В нем катет равен 6см, а прилежащий угол 60º. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол в 45º. Найдите объем цилиндра.

Answer 1

Ответ:

Объём цилиндра равен 432π cм³ ≈ 1357 см³

Объяснение:

Прямоугольный треугольник (основание призмы) вписан в основание цилиндра так, что гипотенуза этого треугольника равна диаметру цилиндра D.

Поскольку катет, прилегающий к углу 60º равен 6 см, то гипотенуза

D = 6 : cos 60° = 6 : 0.5 = 12 (см)

Большая грань призмы - прямоугольник со сторонами, равными D и H (Н - высота призмы и одновременно высота цилиндра)

Так как диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол в 45º, то треугольник, образованный диагональю большей боковой гранью призмы , диаметром цилиндра и высотой цилиндра, является прямоугольным равнобедренным треугольником, то есть высота цилиндра равна его диаметру

Н = D = 12 cм.

Объём цилиндра равен

V = 0.25πD² · H = 0.25π · 12² · 12 = 432π (cм³) ≈ 1357 см³

Answer 2

Для решения этой задачи начнем с нахождения высоты \(h\) призмы, вписанной в цилиндр, а затем найдем радиус цилиндра.

Известно, что вписанная в цилиндр призма имеет основание в виде прямоугольного треугольника с катетом 6 см и прилежащим углом 60º.

Пусть \(h\) - высота призмы, а \(l\) - длина диагонали боковой грани призмы.

Мы знаем, что диагональ \(l\) боковой грани образует 45º с плоскостью основания призмы, поэтому согласно свойствам прямоугольного треугольника:

\(\sin(45^\circ) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}} = \frac{6}{l}\)

Решив уравнение относительно \(l\):

\(l = \frac{6}{\sin(45^\circ)} = 6\sqrt{2}\)

Теперь, для вычисления высоты призмы можно воспользоваться свойством прямоугольного треугольника с углом 60º:

\(\sin(60^\circ) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}} = \frac{h}{6}\)

\(h = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\)

Теперь высота цилиндра будет равна \(h\), а радиус цилиндра будет равен катету прямоугольного треугольника (вписанной призмы), то есть 6 см.

Таким образом, объем цилиндра можно вычислить по формуле для объема цилиндра: \(V = \pi r^2 h\):

\(V = \pi \times 6^2 \times 3\sqrt{3} = 36\pi \sqrt{3} \approx 186,27 \, см^3\).

Объем цилиндра, в который вписана данная призма, составляет приблизительно 186,27 кубических сантиметров.