Question

Две окружности пересекаются в точках А и В, прямая CD – общая касательная этих окружностей (C и D – точки касания). Прямые АВ и CD пересекаются в точке N. Докажите, что N – середина CD

Answer 1

По теореме о касательной и секущей: NC² = NB·NA, ND² = NB·NA. Правые части равны, значит, и левые тоже равны: NC² = ND² ⇒ NC = ND ⇒ N — середина CD.

Answer 2

Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) - центры соответственно первой и второй окружностей, \( A \) и \( B \) - точки их пересечения, а \( C \) и \( D \) - точки касания прямой \( CD \) с окружностями.

Так как прямая \( CD \) - общая касательная к окружностям, то она перпендикулярна радиусам, проведенным из точек касания \( C \) и \( D \) к центрам окружностей \( O_1 \) и \( O_2 \) соответственно. Поскольку \( N \) - точка пересечения отрезка \( AB \) и прямой \( CD \), то из свойств пересекающихся прямых следует, что треугольники \( \triangle O_1NC \) и \( \triangle O_2ND \) подобны треугольнику \( \triangle O_1AB \) и \( \triangle O_2AB \) соответственно.

Поскольку \( A \) и \( B \) - точки пересечения окружностей, то \( \angle AOB \) - прямой угол, и радиусы \( O_1A \) и \( O_2B \) являются диаметрами соответствующих окружностей. Значит, \( O_1ABO_2 \) - прямоугольный треугольник с гипотенузой \( AB \).

Таким образом, так как \( N \) - точка пересечения диаметров прямоугольного треугольника \( O_1ABO_2 \), она будет его центром, следовательно, \( N \) является серединой отрезка \( CD \).