Question

Центр O вписанной в треугольник ABC окружности делит биссектрису BE а отношении 2:1, считается от вершины В. Найдите AB если AC=7,BC=8.Центр O вписанной в треугольник ABC окружности делит биссектрису BE а отношении 2:1, считается от вершины В. Найдите AB если AC=7,BC=8.

Answer 1

Центр O вписанной в треугольник ABC окружности делит биссектрису BE а отношении 2:1, считается от

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства вписанных окружностей и биссектрисы треугольника.

1. Построим треугольник ABC с вписанной окружностью и обозначим центр этой окружности как O. 2. Пусть точка E - точка касания вписанной окружности с стороной AC. 3. По условию, центр O делит биссектрису BE в отношении 2:1, считая от вершины B. Обозначим точку деления этой биссектрисы как D. То есть, BD = 2DE.

Теперь давайте рассмотрим следующие свойства:

- Точка O - центр вписанной окружности - является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC. Это означает, что OD является биссектрисой угла BOC.

- Точка O - также центр окружности, вписанной в треугольник BDE. Это означает, что OE также является биссектрисой угла BED.

Из этого следует, что угол BEO равен половине угла BDE. Обозначим этот угол как α.

Таким образом, мы имеем:

α = (1/2) ∠BDE

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что угол BAC является суммой углов BAE и EAC:

∠BAC = ∠BAE + ∠EAC

Так как BD = 2DE, то DE = (1/3)BE, и следовательно, AE = AC - CE = 7 - (1/3)BE.

Теперь мы можем записать углы BAE и EAC через угол α и отношение BE к AE:

∠BAE = 2α ∠EAC = α

Теперь мы можем записать угол BAC в терминах α и BE:

∠BAC = 2α + α = 3α

Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то:

∠BAC = 180°

Из этого следует:

3α = 180°

α = 60°

Теперь мы знаем значение угла α, и мы можем найти угол BDE:

∠BDE = 2α = 2 * 60° = 120°

Теперь рассмотрим треугольник BDE. У нас есть:

∠BDE = 120° DE = (1/3)BE

Из закона косинусов для треугольника BDE, мы можем найти BD:

BD^2 = DE^2 + BE^2 - 2 * DE * BE * cos(BDE)

BD^2 = (1/9)BE^2 + BE^2 - 2 * (1/3)BE * BE * cos(120°)

BD^2 = (1/9)BE^2 + BE^2 + (2/3)BE^2

BD^2 = (BE^2/9) + (BE^2/3)

BD^2 = BE^2 * (1/9 + 1/3)

BD^2 = BE^2 * (4/9)

BD = (2/3)BE

Теперь у нас есть два выражения для BD: BD = 2DE и BD = (2/3)BE. Приравняем их:

2DE = (2/3)BE

DE = (1/3)BE

Теперь мы можем использовать это равенство, чтобы выразить BE через AB:

DE = (1/3)BE BE = 3DE

Теперь рассмотрим треугольник ADE. Мы знаем, что:

DE = (1/3)BE AE = AC - CE = 7 - (1/3)BE

Из закона косинусов для этого треугольника:

AE^2 = AD^2 + DE^2 - 2 * AD * DE * cos(ADE)

(7 - (1/3)BE)^2 = AB^2 + (DE)^2 - 2 * AB * DE * cos(ADE)

Теперь мы знаем, что DE = (1/3)BE, и мы можем записать:

(7 - (1/3)BE)^2 = AB^2 + ((1/3)BE)^2 - 2 * AB * ((1/3)BE) * cos(ADE)

Упростим это уравнение:

(7 - (1/3)BE)^2 = AB^2 + (1/9)BE^2 - (2/3)AB * BE * cos(ADE)

(7 - (1/3)BE)^2 = AB^2 + (1/9)BE^2 - (2/3)AB * (1/3)BE * cos(ADE)

(7 - (1/3)BE)^2 = AB^2 + (1/9)BE^2 - (2/9)AB * BE * cos(ADE)

Теперь мы знаем, что cos(ADE) = cos(120°), и cos(120°) = -1/2. Подставим это значение:

(7 - (1/3)BE)^2 = AB^2 + (1/9)BE^2 - (2/9)AB * BE * (-1/2)

(7 - (1/3)BE)^2 = AB^2 + (1/9)BE^2 + (AB/3)BE

Теперь раскроем квадрат слева:

49 - 14BE + (1/9)BE^2 = AB^2 + (1/9)BE^2 + (AB/3)BE

Теперь сгруппируем все члены, содержащие BE:

49 - 14BE = AB^2 + (AB/3)BE

Теперь выразим AB через BE:

AB^2 + (AB/3)BE - 14BE