Question

знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо один із катетів і його проекція на гіпотенузу відповідно дорівнюють 4 і 2 см.

Answer 1

Отношение проекции к  катету - это синус угла между ними.
Но и отношение катета к гипотенузе - это тоже синус угла между ними. Одного и того же.
проекция
p = 2 см
катет
a = 4 см
гипотенуза c
p/a = a/c
c = a²/p = 4²/2 = 8 см

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися теоремою Піфагора, яка говорить, що сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.

Нехай один катет трикутника дорівнює 4 см, а його проекція на гіпотенузу дорівнює 2 см. Позначимо інший катет як х, а гіпотенузу як у.

За теоремою Піфагора, ми маємо рівняння: 4^2 + х^2 = у^2

Також, ми знаємо, що проекція катету на гіпотенузу утворює подібні трикутники, тому вони мають співвідношення: х/4 = 2/у

Ми можемо розв'язати цю систему рівнянь, підставивши значення х з другого рівняння в перше: 4^2 + (2/у)^2 = у^2

Розкриваємо дужки: 16 + 4/y^2 = у^2

Переносимо члени рівняння в одну сторону: у^4 - 16у^2 + 4^2 = 0

Це квадратне рівняння зі змінною у^2. Розв'язуємо його за допомогою квадратного кореня: у^2 = (16 ± √(16^2 - 4*4^2))/2

у^2 = (16 ± √(256 - 64))/2

у^2 = (16 ± √192)/2

у^2 = (16 ± 8√3)/2

у^2 = 8 ± 4√3

Значення у^2 може бути 8 + 4√3 або 8 - 4√3.

Тепер, оскільки довжина не може бути від'ємною, ми беремо позитивне значення: у^2 = 8 + 4√3

Застосовуючи квадратний корінь, отримуємо: у = √(8 + 4√3)

Отже, гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює √(8 + 4√3) см.