Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО!!!!!!!! Докажите что в равнобедренном треугольнике медиана не меньше высоты проведённой из той же вершины.

Answer 1

Ответ:

Медиана и высота, проведенные из одной вершины, образуют прямоугольный треугольник, в котором высота катет, медиана - гипотенуза. Гипотенуза всегда больше катета, поэтому медиана больше высоты. Исключение составляет равнобедренный треугольник, в котором высота проведенные к основанию, совпадают, значит равны. медиана, Поэтому медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.

Answer 2

Для доказательства этого факта воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть в треугольнике ABC медиана из вершины A делит сторону BC на отрезки BD и DC (B и C - середины сторон AB и AC соответственно). Для начала, построим высоту из вершины A, перпендикулярную стороне BC. Пусть точка пересечения высоты с BC обозначается как H. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB. По теореме Пифагора: AH² + HB² = AB² Теперь рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике медиана AD совпадает с биссектрисой угла A. Поэтому можно записать: BD = DC Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Также применим теорему Пифагора: AH² + HC² = AC² Так как BD = DC, то можно записать: HB² + HC² = BC² Теперь возьмем два уравнения: AH² + HB² = AB² HB² + HC² = BC² Сложим эти уравнения: AH² + 2HB² + HC² = AB² + BC² Таким образом, мы получили, что сумма квадратов сторон треугольника AHC больше или равна сумме квадратов сторон треугольника ABC. AB² + BC² = AC² Так как AB² + BC² больше или равно AC², то остаются два случая: 1) AB² + BC² > AC² - это означает, что AC - наибольшая сторона треугольника ABC. 2) AB² + BC² = AC² - это означает, что AC - наибольшая сторона треугольника ABC. В обоих случаях высота AH больше или равна медиане AD, так как высота является кратчайшим расстоянием от точки A до стороны BC. Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.