Question

в правильном треугольнике ABC высоты AD,BF и CE пересекаются в точке O. При повороте с центром в точке O точка D отображается на точку M такую, что M принадлежит BO и BM=MO. Тогда угол поворота равен...

Answer 1

..................................................

Answer 2

Для начала, посмотрим на треугольник BCO. Так как угол BOC является прямым (поскольку треугольник ABC – прямоугольный), то треугольник BOC – прямоугольный исооскый треугольник. Также из условия задачи мы знаем, что в треугольнике ABC высоты AD и BF пересекаются в точке O. Отсюда следует, что точка C лежит на высоте B'O, где B' – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AO. Также из условия задачи мы знаем, что при повороте с центром в точке O точка D отображается на точку M такую, что M принадлежит BO и BM = MO. Используя эти сведения, расположим наш треугольник BOC в координатной плоскости. Пусть точка O имеет координаты (0, 0), а точка B – (a, 0), где a > 0. Тогда, учитывая вышесказанное, мы можем записать уравнения прямых, соответствующих высотам AD и BF: AD: x = a BF: y = -cx + a Теперь найдем координаты точки C. Так как она лежит на прямой B'O, то координаты точки С равны ((a + 0) / 2, (-c(0) + a) / 2), или просто (a/2, a/2). Теперь найдем координаты точки M. По условию BM = MO, поэтому длина отрезка BM равна длине отрезка MO. Но точка M лежит на прямой BO, поэтому координаты точки M равны (a, bm), где bm – y-координата точки M. Теперь, используя уравнения прямых AD и BF, найдем координату точки M. Заменим точку D на точку M в уравнении прямой AD и решим систему уравнений: x = a cx - a = bm Решив систему, найдем bm = a/(1 + c). Теперь можем найти угол поворота. Угол между векторами BO и BM можно найти по формуле скалярного произведения двух векторов: cos(угол BOB'M) = (BO*BM) / (|BO|*|BM|) BO = (a, 0) BM = (0, bm) |BO| = a |BM| = bm BO*BM = a*0 + 0*bm = 0 Таким образом, угол между векторами BO и BM равен 90 градусов. Таким образом, угол поворота равен 90 градусов.