Question

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны.Высота 15 см.Найти среднюю линию

Answer 1

См. рисунок:
Так как диагонали в этой трапеции взаимно перпендикулярны, углы между диагоналями и основаниями трапеции равны 45°.
"Перевернем и перенесем" ( мысленно) прямоугольный треугольник, который высота трапеции отсекает от нее с боковой линией  и "приложим" по другую сторону трапеции. Получим квадрат со стороной, равной высоте.
Площадь этого квадрата равна площади трапеции.
Но площадь трапеции находят также произведением ее высоты на среднюю линию.
Следовательно, средняя линия трапеции равна высоте и равна 15 см

Answer 2

ABCD – трапеция

О – точка пересечения диагоналей

Проведем высоту MK через точку пересечения диагоналей

Пусть OM=x и OK=y

x+y=15 – по условию

Высота OM делит треугольник BCO на два равнобедренные треугольника

OM=MC=BM => BC=2x

Высота OK делит треугольник AOD на два равнобедренные треугольника

KO=AK=KD =>AB=2y

 

Средняя линия равна (BC+AD)/2 = (2x+2y)/2=x+y=15

Answer 3

Средняя линия в трапеции - это отрезок, который соединяет середины двух оснований трапеции. Для нахождения средней линии в данной задаче, нам необходимо найти длину основания трапеции.

По условию, диагонали трапеции перпендикулярны друг другу. Это значит, что получаем два прямоугольных треугольника в трапеции. Давайте назовем основанием трапеции большее основание, а меньшее основание обозначим как "a".

По свойству прямоугольного треугольника, проекция одной диагонали на основание трапеции равна половине разности оснований: a1 = (b - a)/2, где b - большее основание трапеции.

Так как диагонали в трапеции равны, то мы можем использовать свойства прямоугольников и получить равенство: a1 = c/2, где c - высота трапеции.

Подставляя данные из условия задачи, получаем: (b - a)/2 = 15/2.

Зная это, мы можем найти выражение для средней линии m. Так как m проходит через середины двух оснований трапеции, мы можем записать m = (a + b)/2.

Решая систему уравнений, состоящую из двух уравнений:
система $$\begin{cases}
(b - a)/2 = 15/2\\
m = (a + b)/2
\end{cases}$$

из первого уравнения находим a = b - 15.

Подставляем найденное значение a во второе уравнение:
m = ((b - 15) + b)/2 = (2b - 15)/2 = b - 15/2.

Таким образом, средняя линия равна b - 15/2 см.

Answer 4

Для решения данной задачи нам понадобятся базовые свойства равнобедренной трапеции.

Сначала обозначим данные трапеции. Пусть AB и CD — основания трапеции, причем AB || CD. Они образуют боковые стороны трапеции. Пусть EF — основание, перпендикулярное к AB и CD, а HG — высота трапеции.

Дано, что высота трапеции равна 15 см. Обозначим ее значением HG = 15 см.

Так как трапеция — равнобедренная, то диагонали AF и EC перпендикулярны. Давайте обозначим точку пересечения этих диагоналей — точку O.

Теперь мы можем разделить трапецию на два треугольника AOH и COE, где OH является средней линией трапеции.

Так как диагонали перпендикулярны, то AD = BC, и каждый из чисел AH = 15 см и CO = 15 см представляет половину основания трапеции.

Поскольку OB, OA и OC являются радиусами описанной окружности для каждого из треугольников AOH и COE, они имеют одинаковую длину и составляют равносторонний треугольник OBC, где OB = OC = BC.

Теперь нам нужно найти длину OH, которая является средней линией трапеции. Так как OB = BC, а BC = 2 * AH (потому что AH = HG = 15 см), то OH = OB - AH = BC - AH = 2 * AH - AH = AH.

Таким образом, средняя линия равнобедренной трапеции равна длине высоты, то есть OH = HG = 15 см.

Итак, средняя линия равнобедренной трапеции равна 15 см.