Question

Помогите решить тест по геометрии В треугольнике ABC дано: AB=9, AC=11, cosA= 1/6. Найдите сторону BC

Answer 1

Ответ:

13

Объяснение:

По теореме косинусов a^2=b^2+c^2-2*b*c*cos(a)

Следовательно: BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos(A)

Подсчитаем: BC^2=9^2+11^2-2*9*11*1/6=169

BC=√169=13

Answer 2

Дано:

Длина стороны AB = 9;

Длина стороны AC = 11;

Косинус угла cos(A) = $\dfrac{1}{6}$.

Найти нужно длину стороны BC, BC - ?

Решение:

0. Построим чертёж.

1. Для решения задачи нужно вспомнить теорему косинусов, для нашей задачи она запишется так: $\tt BC^2 = AB^2+ AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos(A).$

2. Вычислим квадрат искомой стороны: $\tt BC^2 = 9^2 + 11^2 - 2\cdot 9\cdot 11\cdot\dfrac{1}{6} = 81 + 121 - 33 = 169 = 13^2.$

3. Не забудем извлечь квадратный корень, чтобы получить ответ: $\tt BC = \sqrt{13^2} = |13| = 13.$

Ответ: 13.

Answer 3

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

где c - сторона противолежащая углу C, а, b - стороны противолежащие углам A и B соответственно.

Из условия задачи известны стороны AB = 9 и AC = 11, а также cos(A) = 1/6.

Из теоремы косинусов мы знаем, что cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc.

Таким образом, подставляя известные значения в данное равенство, получаем:

1/6 = (b^2 + c^2 - 9^2) / (2 * b * c)

Заметим, что угол А треугольника ABC острый, так как cos(A) положительное число, а следовательно треугольник ABC существует.

Подставим известные значения и продолжим решение:

1/6 = (b^2 + c^2 - 81) / (2 * b * c)

Умножим обе части равенства на 2bc:

bc/6 = b^2 + c^2 - 81

Перегруппируем члены:

b^2 + c^2 - bc/6 = 81

Учитывая, что b и c - конечные положительные числа, заметим, что решение ищется в целых числах (bc/6 - целое).

Текущее равенство можно представить в виде квадратного трехчлена:

6b^2 - 6bc + 6c^2 - 486 = 0

Делим на 6 и получаем:

b^2 - bc + c^2 - 81 = 0

Полученное квадратное уравнение относительно неизвестных b и c можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (c^2 - 81) = 1 - 4c^2 + 324 = 325 - 4c^2

Для дальнейшего решения введем дополнительное ограничение, что сторона BC - целое положительное число, тогда и c - целое положительное число.

Теперь рассмотрим все возможные целые значения c и найдем соответствующие значения b.

Подставляя значения в квадратное уравнение, получаем:

D = 325 - 4c^2

Как известно, вещественные корни имеются, когда D >= 0.

325 - 4c^2 >= 0

4c^2 <= 325

c^2 <= 325/4

Таким образом, необходимо рассмотреть все целочисленные значения c, удовлетворяющие условию c^2 <= 325/4.

Перебирая целочисленные значения c, найдем соответствующие значения b из уравнения:

b = (bc - D) / (2c)

И найдем сторону BC = b для каждой пары значений b и c.

Приближенное решение:
c = 5 или c = -5, в зависимости от знака извлекаемого значения b^2 - 81.
Так как c - положительное целое число, то возьмем c = 5.
Получаем D = 325 - 4 * 5^2 = 325 - 100 = 225. Проверяем, D > 0.
b = (5 * b - 15) / 10 или b = (-5 * b - 15) / 10
Так как b целое число и сторона AC > AB, то найденное значение b должно быть больше 9, мы можем найти, что b = 12.26 или b = -2.14. Таким образом, сторона BC будет равна 12.26.

Таким образом, сторона BC примерно равна 12.26 единицам длины.