Question

дан куб АВСДА1В1С1Д1(АВСД-нижнее основание). Найдите величину угла между плоскостью грани АВВ1А1 и плоскостью, проходящей через диагональ АВ1 этой грани и середину ребра ДС куба.

Answer 1

Поместим куб с ребром 2 (для кратности) вершиной В в начало координат, ВА по оси Ох, ВС по оси Оу.

Координаты : А(2; 0; 0), В(0; 0;0), В1(0; 0; 2).

Середина ДС - точка М. Параллельная плоскость СДД1С1 пересекается по МК параллельно АВ1.

Точки М(1; 2; 0) и К(0; 2; 1).

Находим уравнения плоскостей.

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение определяется из выражения:               (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек, получаем:

Плоскость АВВ1: у = 0,

Плоскость АМКВ1: 2x + y + 2x - 4 = 0

                            |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|

cos α =    -------------------------------------------------------  = 1/3.

          √(A12 + B12 + C12)*√(A22 + B22 + C₂²)  

Угол равен 1,23096 радиан или  70,5288  градусов.

               

Answer 2

Для решения этой задачи обратимся к геометрии куба.

Возьмем ребро куба AB и продлим его до точки P, являющейся серединой ребра ДС. Обозначим точку пересечения диагонали АВ1 с плоскостью, проходящей через ребро AB и середину ребра ДС, как M.

Так как ребро AB параллельно плоскости грани АВВ1А1, а ребро ДС - перпендикулярно плоскости этой грани, то прямая PM будет перпендикулярна к грани АВВ1А1.

Также, прямая МА1 будет перпендикулярна к плоскости грани АВСД.

Так как прямые PM и МА1 пересекаются в точке М, а прямая МА1 перпендикулярна к плоскости грани АВСД, то угол МА1Р, где Р - произвольная точка этой плоскости, будет равен углу МА1М, то есть углу между плоскостью грани АВВ1А1 и плоскостью, проходящей через диагональ АВ1 этой грани и середину ребра ДС.

Таким образом, чтобы найти величину угла между плоскостью грани АВВ1А1 и плоскостью, проходящей через диагональ АВ1 этой грани и середину ребра ДС, необходимо найти угол МА1М.

Однако, чтобы ответить на ваш вопрос, необходима дополнительная информация, так как неизвестны размеры куба. Без этих данных невозможно найти конкретное значение угла.