Question

В параллелограмме abcd биссектрисы углов abc и bcd пересекают основание ad в точках l и k соответственно. Известно, что ad=3/2ab,bl=8,ck=12. Найдите площадь параллелограмма

Answer 1

В параллелограмме abcd биссектрисы углов abc и bcd пересекают основание ad в точках l и k соответственно. Известно, что ad=3/2 ab, bl=8, ck=12. Найдите площадь параллелограмма.
--------------
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. 
Следовательно, биссектрисы этих углов пересекутся под углом 90°
В параллелограмме противолежащие углы равны. 
∠bad=∠bcd , следовательно, биссектрисы этих углов параллельны и равны. Проведем биссектрису am=ck=12
Биссектрисы bl  и  am пересекутся в точке О под прямым углом. 
Биссектриса  угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник (доказать сумеете). 
ab=al
ab=bm  
am ⊥ bl ⇒ параллелограмм abmk- ромб.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. 
Так как стороны ромба равны, то
4аb²=bl²+am²
4аb²=8²+12²=64+144=208
ab²=52
ab=2√13 ad=3/2 ab ⇒ ad=(2√13)*3/2=3√13
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 
S abml=8*12:2=48
Высота параллелограмма  abcd является и высотой ромба abml, это  отрезок hl, проведенный перпендикулярно стороне ромба.
S abmd=lh*bm
lh=S:bm
lh=48: 2√13=24:√13
Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой она проведена. 
S abcd=hl*ad
S abcd=(24:√13)*3√13=72 (единиц площади)

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства параллелограмма и биссектрисы угла.

Свойства параллелограмма: 1. Противоположные стороны параллелограмма равны. 2. Противоположные углы параллелограмма равны. 3. Диагонали параллелограмма делятся пополам.

Свойства биссектрисы угла: 1. Биссектриса угла делит его на два равных угла. 2. Биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению других двух сторон.

По условию задачи, известно, что `ad = (3/2) * ab`, `bl = 8` и `ck = 12`. Нам нужно найти площадь параллелограмма.

Решение:

Шаг 1: Найдем длину стороны `ad`. Известно, что `ad = (3/2) * ab`. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то `ad = bc`.

Шаг 2: Найдем длину стороны `ab`. Из условия задачи нам дано, что `bl = 8`. Так как биссектриса угла `abc` делит сторону `ab` на две равные части, то `ab = 2 * bl = 2 * 8 = 16`.

Шаг 3: Найдем длину стороны `bc`. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то `bc = ad = (3/2) * ab = (3/2) * 16 = 24`.

Шаг 4: Найдем площадь параллелограмма `abcd`. Площадь параллелограмма можно найти, умножив длину одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Высота параллелограмма равна длине биссектрисы угла `abc` и `bcd`, так как они пересекают основание `ad` в точках `l` и `k` соответственно.

Шаг 5: Найдем длину биссектрисы угла `abc`. Из свойств биссектрисы угла, мы знаем, что `bl / ab = ck / bc`. Подставим известные значения: `8 / 16 = 12 / 24`. Упростим выражение: `1/2 = 1/2`. Значит, `bl = ck`.

Шаг 6: Найдем высоту параллелограмма. Так как `bl = ck`, то высота параллелограмма равна `bl = 8`.

Шаг 7: Найдем площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма равна `площадь = сторона * высота`. В данном случае, `сторона = ad = bc = 24` и `высота = bl = 8`. Тогда, `площадь = 24 * 8 = 192`.

Ответ: Площадь параллелограмма `abcd` равна 192.