Question

Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 2, соединены отрезками. Найти периметр образовавшегося четырехугольника.

Answer 1

Прямоугольник АВСД, М-середина АВ, Н-середина ВС, К-серединаСД, Р-середина АД, диагонали АС=ВД=2, в треугольнике АВС МН - средняя линия=1/2АС=2/2=1,
НК- средняя линия для треугольникаВСД =1/2ВД=2/2=1, РК-средняя линия для треугольника АСД =1/2АС=1, МР-средняя линия для треугольникаАВД=1/2ВД=1
периметр МНКР=1+1+1+1=4

Answer 2

Стороны искомого четырёхугольника - средние линии треугольников, две стороны которых - стороны прямоугольника, а одна - его диагональ. Поэтому стороны искомого четырёхугольника равны половине длины диагонали данного прямоугольника т.е. 1, поскольку все стороны равны, то периметр равен 4*1=4.

Answer 3

Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b, где a > b. Тогда по условию задачи, диагональ прямоугольника равна 2 и соединяет середины двух сторон прямоугольника.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю и двумя сторонами прямоугольника. По свойству серединного перпендикуляра в треугольнике, диагональ является медианой, а также высотой и биссектрисой этого треугольника.

Так как диагональ равна 2, то медиана разбивает диагональ на две равные части по 1. Значит, отрезок, соединяющий середину стороны a с серединой стороны b, равен 1.

Теперь рассмотрим четырехугольник, образованный отрезками соединения середин сторон прямоугольника. Этот четырехугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника, образованных диагоналями прямоугольника.

Так как отрезок, соединяющий середину стороны a с серединой стороны b, равен 1, а диагональ прямоугольника равна 2, то каждый из прямоугольных треугольников будет иметь катеты 1 и 2/2 = 1.

Теперь найдем гипотенузу каждого из треугольников по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2, где c - гипотенуза, a и b - катеты.

Для первого треугольника: c1^2 = 1^2 + 1^2 = 2 Для второго треугольника: c2^2 = 1^2 + 1^2 = 2

Таким образом, каждая из гипотенуз равна √2.

Теперь найдем периметр образовавшегося четырехугольника, сложив длины всех его сторон.

Периметр = a + b + c1 + c2 = a + b + √2 + √2

Так как стороны прямоугольника соединены отрезками, то a + b = диагональ прямоугольника = 2.

Тогда периметр = 2 + √2 + √2 = 2 + 2√2.

Таким образом, периметр образовавшегося четырехугольника равен 2 + 2√2.