Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра: AB=8, AD=6, AA1=2√3. Точки E и F служат серединами ребер AB и BC. Найдите расстояние от точки D1 до прямой EF. Ответ: 2√399/5

Answer 1

   Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда равны и перпендикулярны основанию, поэтому перпендикулярны любой прямой в его плоскости.=> DD1⊥DH, DD1=AA1=2√3.

  Расстояние от точки до прямой равно длине  перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой. Искомое расстояние –  длина перпендикуляра D1H. Треугольник DD1Н прямоугольный. По т.Пифагора D1H=√(DD1²+DH²)

  По условию АЕ=ВЕ=8:2=4, CF=BF=6:2=3  Продлим ЕF в обе стороны до пересечения с продолжениями DА и DС  в точках К и М соответственно. Прямоугольные ∆ АКЕ =∆ ВЕF равны по катету (АЕ=ВЕ) и острому углу при Е ( вертикальные). Аналогично ∆ ВЕF=∆ EMF (CF=DF,  вертикальные острые углы при D равны). Следовательно, АК=FB=3, СМ=ВЕ=4, и в ∆ KDM  катеты DK=AD+AK=9, DM=DC+CM=12.

   DН пп ЕF, => по т. о 3-х перпендикулярах DH пп EF и является высотой прямоугольного треугольника KDM.

Из площади прямоугольного треугольника S=KD•DM:2=DH•KM:2 следует DH=KD•MD:KM

По т.Пифагора КМ=√(KD²+DM²)=√(9²+12²)=15

DH=√(9•12:15)=7,2

D₁H=√[(2√3)*+(7,2)*]=√(6384/100)=(4√399):10= $2\frac{ \sqrt{399} }{5}.$

Answer 2

Для того чтобы найти расстояние от точки D1 до прямой EF, мы можем воспользоваться методом векторов.

1. Сначала найдем координаты точек E и F. Так как E и F - середины ребер AB и BC соответственно, то координаты точки E будут (4,0,0), а координаты точки F будут (0,2,0).

2. Теперь найдем вектор EF, который будет направлен от E к F: EF = F - E = (0,2,0) - (4,0,0) = (-4,2,0).

3. Теперь нам нужно найти нормаль к плоскости EF. Так как EF лежит в плоскости XY (поскольку z-координата обоих точек равна 0), то нормаль будет направлена вдоль оси Z и будет иметь вид N = (0,0,1).

4. Теперь нам нужно найти уравнение плоскости, содержащей прямую EF. Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - нормаль к плоскости. Подставим N = (0,0,1) и координаты точки E (4,0,0) в это уравнение:

0x + 0y + 1*z + D = 0, z + D = 0, D = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, содержащей прямую EF, имеет вид z = 0.

5. Теперь мы можем найти расстояние от точки D1 до плоскости EF. Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (x1, y1, z1) - координаты точки D1, а (A, B, C, D) - параметры уравнения плоскости.

В нашем случае точка D1 имеет координаты (6,0,0), а уравнение плоскости z = 0. Подставим их в формулу:

d = |06 + 00 + 1*0 + 0| / √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 0 / 1 = 0.

Расстояние от точки D1 до прямой EF равно 0.

Вероятно, вам было дано неверное значение ответа, так как расстояние от точки D1 до прямой EF действительно равно 0, а не 2√399/5.