Question

В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известны ребра ab=2 ad=1 aa1=1.5. Точки К и Р являются серединами ребер АА1 и ВВ1 соответственно . Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую КР и вершину С

Answer 1

Применена теорема о трех перпендикулярах, теорема Пифагора

Answer 2

Для решения задачи давайте разберемся с геометрической ситуацией. У нас есть прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с известными ребрами:

- \( AB = 2 \), - \( AD = 1 \), - \( AA_1 = 1.5 \).

Точки \( K \) и \( P \) являются серединами ребер \( AA_1 \) и \( BB_1 \) соответственно. Мы хотим найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую \( KP \) и вершину \( C \).

Для начала, найдем координаты точек \( K \), \( P \) и \( C \). Так как \( K \) и \( P \) являются серединами соответствующих ребер, то:

\[ K = \left( \frac{A + A_1}{2}, \frac{A + A_1}{2}, \frac{B + B_1}{2} \right) \] \[ P = \left( \frac{B + B_1}{2}, \frac{A + A_1}{2}, \frac{C + C_1}{2} \right) \]

Теперь найдем координаты вершины \( C \). Поскольку \( C \) лежит в том же вертикальном сечении, что и \( K \) и \( P \), то ее координаты будут:

\[ C = \left( \frac{A + A_1}{2}, \frac{B + B_1}{2}, C \right) \]

Теперь у нас есть координаты трех точек, через которые проходит плоскость \( KP \) и вершина \( C \). Давайте теперь найдем уравнение плоскости.

Возьмем два вектора:

\[ \vec{KP} = \vec{P} - \vec{K} = \left( \frac{B - A}{2}, \frac{A_1 - A}{2}, \frac{C_1 - C}{2} \right) \] \[ \vec{KC} = \vec{C} - \vec{K} = \left( 0, \frac{B_1 - B}{2}, \frac{C - C_1}{2} \right) \]

Теперь найдем векторное произведение векторов \( \vec{KP} \) и \( \vec{KC} \):

\[ \vec{N} = \vec{KP} \times \vec{KC} \]

Уравнение плоскости в общем виде:

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

где \( (A, B, C) \) - нормальный вектор к плоскости, а \( D \) - свободный член. Элементы вектора \( \vec{N} \) дают значения \( (A, B, C) \):

\[ \vec{N} = \left( \frac{B - A}{2}, \frac{A_1 - A}{2}, \frac{C_1 - C}{2} \right) \times \left( 0, \frac{B_1 - B}{2}, \frac{C - C_1}{2} \right) \]

\[ \vec{N} = \left( \frac{A(A_1 - C_1) + B_1(C - A)}{2}, \frac{C(A - B) + C_1(B_1 - A_1)}{2}, \frac{B(A_1 - C_1) + A_1(B_1 - A)}{2} \right) \]

Теперь у нас есть нормальный вектор \( \vec{N} \). Подставим его коэффициенты \( (A, B, C) \) в уравнение плоскости:

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

\[ \frac{A(A_1 - C_1) + B_1(C - A)}{2}x + \frac{C(A - B) + C_1(B_1 - A_1)}{2}y + \frac{B(A_1 - C_1) + A_1(B_1 - A)}{2}z + D = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение плоскости \( KP \) и вершины \( C \). Так как плоскость проходит через точку \( C \), то мы можем использовать ее координаты для определения \( D \):

\[ D = -\left( \frac{A(A_1 - C_1) + B_1(C - A)}{2} \cdot \frac{A + A_1}{2} + \frac{C(A - B) + C_1(B_1 - A_1)}{2} \cdot \frac{B + B_1}{2} + \frac{B(A_1 - C_1) + A_1(B_1 - A)}{2} \cdot C \right) \]

Теперь у нас есть полное уравнение плоскости \( KP \) и вершины \( C \). Мы можем использовать это уравнение для нахождения площади сечения параллелепипеда. Площадь сечения параллелепипеда плоскостью можно найти, проектируя его на плоскость \( KP \) и затем находя площадь полученной фигуры.

Подставим координаты вершины \( C \) в уравнение плоскости и найдем проекции остальных вершин параллелепипеда:

\[ A x + B y + C z + D = 0 \]

Теперь площадь сечения можно найти, например, как площадь проекции полученной фигуры на плоскость \( XY \). После проецирования