Question

Пусть о центр вписанной в треугольник авс окружности. Луч ао пересекает описанную окружность в точке д. Докажите что од=дс=дв

Answer 1

Углы, опирающиеся на равные дуги окружности, равны)))
из равенства углов при одной стороне,
следует равнобедренность соотв. треугольника)))

Answer 2

Для доказательства равенства отрезков OD, DS и DV вам потребуется использовать несколько свойств описанных и вписанных окружностей в треугольнике ABC.

1. По построению, точка D - это точка пересечения луча AO и описанной окружности треугольника ABC.
2. Для начала заметим, что треугольник AOD является прямоугольным, так как угол AOD - это угол, опирающийся на диаметр описанной окружности, и он равен 90 градусов.
3. Теперь обратим внимание на треугольник ASD. Угол ASD также опирается на диаметр описанной окружности и также равен 90 градусов. Следовательно, треугольник ASD также прямоугольный.

Теперь, когда мы знаем, что треугольники AOD и ASD прямоугольные, мы можем использовать теорему Пифагора в этих треугольниках.

В треугольнике AOD: AO^2 = AD^2 + OD^2

В треугольнике ASD: AS^2 = AD^2 + DS^2

Так как угол ASD прямой, AS - это диаметр описанной окружности, и AS равно дважды радиусу описанной окружности (AS = 2R, где R - радиус описанной окружности).

Следовательно, мы имеем:

(2R)^2 = AD^2 + DS^2

4R^2 = AD^2 + DS^2

Теперь мы можем объединить это равенство с равенством из треугольника AOD:

AO^2 = AD^2 + OD^2

Из условия задачи известно, что AO равно радиусу вписанной окружности, то есть AO = r (где r - радиус вписанной окружности).

Итак, мы получили два уравнения:

1. AO^2 = AD^2 + OD^2
2. 4R^2 = AD^2 + DS^2

Где AO = r и AS = 2R. Теперь мы можем подставить значение AS во второе уравнение:

4(2R)^2 = AD^2 + DS^2

16R^2 = AD^2 + DS^2

Теперь мы видим, что у нас есть два равенства, в которых в левой части стоит 4R^2 и 16R^2, соответственно. Они равны между собой, так как оба равняются квадрату радиуса описанной окружности. Таким образом, мы можем утверждать:

4R^2 = 16R^2

Из этого следует, что AD^2 + DS^2 = OD^2, что означает, что отрезки OD, DS и DV равны между собой:

OD = DS = DV.

Таким образом, доказано, что OD = DS = DV.