Question

Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковой стороной 9  см , Отрезки какой длины нужно отложить от вершины треугольника на его боковых сторонах , чтобы, соединив их концы , получить подобный треугольник с периметром 20 см . 

Answer 1

Отношение периметров  подобных треугольников равно коэффициенту k подобия их сторон.
Периметр  исходного треугольника - сумма длин основания и двух равных боковых сторон:
Р=6+9+9=24 (см)
Р2:Р1=20:24=5:6
k=5/6
Стороны треугольников тоже относятся как 5/6
Обозначим боковую сторону искомого треугольника а.
 Тогда а:9=5:6 ⇒
а=45:6=7,5 (см) - длина боковой стороны меньшего треугольника. 
6•5/6=5 - длина основания меньшего треугольника. 
Р=7,5+7,5+5=20 (см). 

Answer 2

Давайте обозначим неизвестные отрезки, которые нужно отложить от вершины треугольника, как $x$ см и $y$ см.

Из условия, нам известно, что у нас есть равнобедренный треугольник с основанием $AB = 6$ см и боковой стороной $AC = 9$ см.

Сначала определим периметр подобного треугольника. У нас есть периметр $P = 20$ см.

Подобные треугольники имеют пропорциональные стороны. Так как мы хотим получить подобный треугольник с периметром 20 см, то:

$$\frac{{AB + AC + BC}}{{x + y + x + y}} = \frac{{6 + 9 + BC}}{{x + y + x + y}} = \frac{{15 + BC}}{{2x + 2y}} = \frac{{20}}{{2x + 2y}}$$

Теперь мы можем упростить эту пропорцию:

$$15 + BC = 20$$

$$BC = 5$$

Таким образом, отрезок $BC$ должен быть равен 5 см.

Так как треугольник равнобедренный, $BC$ и $AC$ равны, поэтому $AC = 5$ см.

Также, поскольку $BC$ разбивается вершиной треугольника на две части, то $x + y = BC = 5$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ AC = 5 \end{cases}$$

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения $x$ и $y$.