Question

14.2. Знайдіть скалярний добуток векторів: 1) č(0; 1; −2) i d(5; 6; -1); 2) m(1; -1; 2) i ñ(5; 4; 1). 14.8. (ë; ã) = ф. Знайдіть с.d, якщо: 1) č = 5; d = 1; ф = 0°; 2) č = 4; d = 7; q = 45°; 14.12. Чи перпендикулярні вектори а i b, якщо: 1) ā(-1; 2; 3), b(4; -1; 2); 2) ā(2; −3; 0), 6(6; -4; 5)? 14.15. Знайдіть кут між векторами ā(0; 2; -2) і ы(1; 0; −1). Помогите пожалуйста 70 балов

Answer 1

14.2. Для знаходження скалярного добутку векторів застосовується формула:

a · b = ax * bx + ay * by + az * bz

1) č(0; 1; −2), d(5; 6; -1):

č · d = 0 * 5 + 1 * 6 + (-2) * (-1) = 0 + 6 + 2 = 8

2) m(1; -1; 2), ñ(5; 4; 1):

m · ñ = 1 * 5 + (-1) * 4 + 2 * 1 = 5 - 4 + 2 = 3

Отже, скалярний добуток векторів:

1) č · d = 8

2) m · ñ = 3

14.8. Для знаходження скалярного добутку векторів, коли задані довжини векторів і кут між ними, застосовується формула:

a · b = |a| * |b| * cos(ф)

1) č = 5, d = 1, ф = 0°:

č · d = 5 * 1 * cos(0°) = 5 * 1 * 1 = 5

2) č = 4, d = 7, ф = 45°:

č · d = 4 * 7 * cos(45°) = 4 * 7 * √2/2 = 14√2

Отже, скалярний добуток векторів:

1) č · d = 5

2) č · d = 14√2

14.12. Для векторів, що є перпендикулярними, їх скалярний добуток дорівнює нулю. Перевіримо:

1) ā(-1; 2; 3), b(4; -1; 2):

ā · b = (-1) * 4 + 2 * (-1) + 3 * 2 = -4 - 2 + 6 = 0

Отже, вектори ā і b є перпендикулярними.

2) ā(2; −3; 0), b(6; -4; 5):

ā · b = 2 * 6 + (-3) * (-4) + 0 * 5 = 12 + 12 + 0 = 24

Отже, вектори ā і b не є перпендикулярними.

14.15. Для знаходження кута між векторами застосовується формула:

cos(θ) = (ā · b) / (|ā| * |b|)

ā(0; 2; -2), ы(1; 0; −1):

cos(θ) = (0 * 1 + 2 * 0 + (-2) * (-1)) / (√(0² +

Answer 2

Звідси можна вирішити ці різні математичні задачі:

14.2. Знаходження скалярного добутку векторів:

1. Для векторів c(0; 1; -2) і d(5; 6; -1): Скалярний добуток (c · d) = 05 + 16 + (-2)*(-1) = 0 + 6 + 2 = 8.

2. Для векторів m(1; -1; 2) і n(5; 4; 1): Скалярний добуток (m · n) = 1*5 + (-1)4 + 21 = 5 - 4 + 2 = 3.

14.8. Знаходження скалярного добутку за допомогою функції косинуса:

1. Для кута 0° між векторами c і d при c = 5 та d = 1: Скалярний добуток (c · d) = 5 * 1 * cos(0°) = 5 * 1 * 1 = 5.

2. Для кута 45° між векторами c і d при c = 4 та d = 7: Скалярний добуток (c · d) = 4 * 7 * cos(45°) = 4 * 7 * √2 / 2 = 14 * √2.

14.12. Перевірка перпендикулярності векторів:

1. Для векторів a(-1; 2; 3) і b(4; -1; 2): Вони не перпендикулярні, оскільки їх скалярний добуток не дорівнює 0: a · b = (-14) + (2(-1)) + (3*2) = -4 - 2 + 6 = 0.

2. Для векторів a(2; -3; 0) і b(6; -4; 5): Вони також не перпендикулярні, оскільки a · b = (26) + (-3(-4)) + (0*5) = 12 + 12 + 0 = 24.

14.15. Знаходження кута між векторами:

Для векторів a(0; 2; -2) і b(1; 0; -1): Скалярний добуток a · b = 01 + 20 + (-2)*(-1) = 2.

Довжина вектора a: |a| = √(0^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(0 + 4 + 4) = √8 = 2√2.

Довжина вектора b: |b| = √(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(1 + 0 + 1) = √2.

Знаходження кута за формулою косинуса:

$\cos(θ) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} = \frac{2}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}.$

Тепер, щоб знайти кут $θ$, використовуємо обернений косинус (арккосинус) для $cos^{-1}(1/2)$, що дорівнює 60°.

Сподіваюся, це допоможе! Якщо у вас є додаткові питання або потреба в додатковій допомозі, будь ласка, повідомте мене!