Question

Помогите с Геометрией. На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка P, а вне параллелограма - точка Q так, что отрезки BP и AQ имеют общую середину. Докажите, что отрезки CP и DQ имеют общую середину.

Answer 1

Диагонали четырехугольника ABQP точкой пересечения делятся пополам, следовательно ABPQ - параллелограмм. Противоположные стороны параллелограмма (ABQP, ABCD) параллельны и равны,

AB||QP, AB||CD => QP||CD

AB=QP, AB=CD => QP=CD

Противоположные стороны четырехугольника PQCD параллельны и равны, следовательно PQCD - параллелограмм и его диагонали CP и DQ точкой пересечения делятся пополам (то есть имеют общую середину).

Answer 2

Для доказательства того, что отрезки CP и DQ имеют общую середину, давайте воспользуемся свойствами параллелограмма.

Известно, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны, и противоположные углы равны. Поэтому у нас есть следующие пары параллельных сторон:

1. AB || CD
2. BC || AD

Также у нас есть пара пересекающихся отрезков внутри параллелограмма:

• Отрезок BP пересекает отрезок AQ.

Теперь рассмотрим два треугольника: ΔBCP и ΔDQA. У нас есть следующие пары параллельных сторон:

• BC || AD
• CP - общая сторона для ΔBCP и ΔDQA
• DQ - общая сторона для ΔBCP и ΔDQA

Теперь мы можем воспользоваться теоремой о трёх параллельных линиях, которая гласит, что если две параллельные прямые (BC и AD) пересекают третью прямую (BP и AQ), то точки пересечения на этих прямых (точки P и Q) лежат на одной и той же прямой.

Следовательно, отрезки CP и DQ имеют общую середину, и это доказывает ваше утверждение.