Question

Биссектрисы АМ и ВК равностороннего треугольника АВС переекаются в точке О. Докажите, что АО : ОМ = 2 : 1.

Answer 1

Надо начертить окружность внутри треугольника, где ОМ=ОК=радиусу окружности. начерченная окружность пересекает АО в точке N, где ОN=OM=радиусу окружности.
Доказываем, что треугольник NOK равносторонний. Биссектрисы равностороннего треугольника ABC делят углы пополам, т.е. по 30 градусов (углы BAO=OAK=30) и у оснований образуют 2 прямых угла (углы ВКА=ВКС=90 градусов, ВКС=ОКА=90). Угол АОК в прямоугольном треугольнике равен 60 градусам (180-ОАК-ОКА=60). Отсюда имеем равнобедренный треугольник NOK имеет равные стороны ON=OK=радиус окружности и угол между этими сторонами, равный 60 градусам. Т.к. углы у основания равнобедренного треугольника равны, то угол ONK=OKN=(180-60)/2=60. Это означает, что треугольник NOK равносторонний, т.е. NO=OK=NK=радиусу окружности.
Образовавшийся треугольник ANK равнобедренный. Угол АКВ=90, угол NKO=60, значит угол NKA=90-60=30. Угол NAK=1/2 BAK=60/2=30. Значит, углы NAK=NKA=30 градусам, т.е. у основания АК равны, и треугольник ANK равнобедренный, где AN=NK=радиусу окружности.
Из всего следует, что АО=AN+NO=R+R=2R (2 радиуса окружности), а ОМ= радиусу окружности. Значит, АО:ОМ=2:1.

Answer 2

Для доказательства того, что АО : ОМ = 2 : 1 в равностороннем треугольнике АВС с биссектрисами АМ и ВК, мы можем использовать следующий подход.

Пусть треугольник АВС равносторонний, и его биссектрисы АМ и ВК пересекаются в точке О. Пусть М - середина стороны АВ, а К - середина стороны ВС.

Так как треугольник АВС равносторонний, то у нас есть несколько важных свойств:

1. Угол А = Угол В = Угол С = 60 градусов.
2. Все стороны АВ, ВС и СА равны между собой.
3. Биссектрисы АМ и ВК делят углы В и С пополам, поэтому угол МАО = 30 градусов, и угол ОКВ = 30 градусов.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник АОМ. В этом треугольнике у нас есть следующее:

1. Угол АОМ = 180 градусов (прямая линия) - 30 градусов (угол МАО) = 150 градусов.
2. Угол АМО = Угол МАО = 30 градусов (по свойству биссектрисы).

Таким образом, треугольник АОМ не является равносторонним, но он равнобедренный, так как два его угла равны 30 градусов. Теперь мы можем использовать свойство равнобедренных треугольников: отношение длины боковой стороны к половине основания равнобедренного треугольника равно 2:1.

В нашем случае, АО - боковая сторона, а ОМ - половина основания. Таким образом, АО : ОМ = 2 : 1, что и требовалось доказать.