Question

В правильной трёхугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро в два раза больше, чем сторона основания. Точки K и L являются серединами ребер AC и BC соответственно. Через прямую KL, параллельно к ребру SC, провели плоскость α. Найдите угол φ между плоскостью α и плоскостью (ABC).

Answer 1

угол φ между плоскостью α и плоскостью (ABC) получается равным углу между ребром SC и плоскостью ABC
Пусть АС = 1, CS = 2
AO = OC = R найдём по теореме косинусов
1² = R² + R² - 2R²*cos(120°)
1 = 2R² - 2R²*(-1/2)
1 = 3R²
R = 1/√3
cos(φ) = CO/SC = 1/√3/2 = 1/(2√3) 
φ = arccos(1/(2√3) ) ≈ 73,22°

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства трёхугольных пирамид и плоскостей.

1. Дано, что боковое ребро SB в два раза больше стороны основания ABC. Пусть сторона основания равна a, тогда длина бокового ребра SB равна 2a.

2. Точки K и L являются серединами рёбер AC и BC соответственно, поэтому длины отрезков AK и BL равны половине длин соответствующих сторон основания: AK = BL = a/2.

3. Проведена плоскость α, параллельная ребру SC и проходящая через прямую KL. Поскольку KL параллельно SC, то KL также параллельна плоскости (SABC).

4. Теперь мы хотим найти угол φ между плоскостью α и плоскостью (ABC).

5. Рассмотрим треугольник KBL в плоскости (ABC). Этот треугольник прямоугольный, так как KL параллельна SC, и в нём BL — это высота, а KL и BK — это катеты. Мы знаем, что KL = a/2, BK = 2a (половина бокового ребра SB), и BL = a/2.

6. Из правильного треугольника KBL можно найти синус угла φ:

sin(φ) = BL / BK = (a/2) / (2a) = 1/4

7. Теперь найдем сам угол φ:

φ = arcsin(1/4)

8. Подсчитаем значение этого угла в радианах:

φ ≈ 0.25 радиана

Таким образом, угол φ между плоскостью α и плоскостью (ABC) составляет примерно 0.25 радиана.