Question

Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды равна 48, а периметр основания 12. Вычислить апофему, площадь полной поверхности пирамиды и объём.

Answer 1

Дано: площадь S боковой грани правильной треугольной пирамиды равна 48, а периметр основания P = 12.

Находим сторону основания а = Р/3 = 12/3 = 4.
Теперь можно найти апофему А = 2S/a = 2*48/4 = 24.
Площадь основания So = a²√3/4 = 4²√3/4 = 4√3 кв.ед.
Площадь полной поверхности пирамиды равна:
Sпп = So + Sбок = 4√3 + 3*48 = 4√3 + 144 кв.ед.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH.
Находим высоту пирамиды.
Определяем высоту h основания: h = a*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3.
Высота пирамиды равна: 
Н = √(А² - (h/3)³) = √(24² - (2√3/3)²) =√(576 - (12/9)) = √(1724/3) =
= √574,667 ≈ 23,9722.
Тогда V = (1/3)*(4√3)*(√(1724/3)) = (4/3)√1724 ≈  55,3614 куб.ед.

Answer 2

Давай-ка разберемся с этой задачей!

Пусть $a$ - длина стороны основания треугольной пирамиды, $l$ - длина боковой грани, $h$ - апофема, $P$ - периметр основания, $S_b$ - площадь боковой грани, $S_t$ - полная площадь поверхности пирамиды, и $V$ - объем.

Итак, у нас есть следующие данные: $S_b = 48, \quad P = 12.$

1. Находим длину стороны основания ($a$): $P = 3a \implies a = \frac{P}{3} = \frac{12}{3} = 4.$

2. Находим апофему ($h$) с использованием теоремы Пифагора в треугольнике, образованном половиной боковой грани, апофемой и стороной основания: $h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}.$ $48 = l^2 - 2^2 \implies l^2 = 52 \implies l = \sqrt{52}.$

3. Находим апофему ($h$): $h = \sqrt{52 - 4} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}.$

4. Находим площадь полной поверхности ($S_t$): $S_t = S_b + \frac{1}{2}Pl = 48 + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{52}.$

5. Находим объем ($V$): $V = \frac{1}{3}S_bh = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 4\sqrt{3}.$

Теперь можем подставить значения и решить уравнения!