Question

В треугольнике ABC  AC=BC, AB=30, sinA=0,8. Найдите AC.

Answer 1

В треугольнике АBC проводим высоту СН, которая будет являться медианой и биссектрисссой, значит АH=HB = 15 ,sin A=CH/AC из этой форму следует 0,8*АС =СН, по теореме пифагора в треугольнике АСН  СН = SQRT(AC^2-AH^2) 
0,64*АС^2=AC^-225
AC^2-225=0.64*AC^2
0.36*AC^2=225
AC=25

Answer 2

Из синуса угла А мы можем найти высоту из вершины А на сторону ВС:

h = AC * sin A = AC * 0.8

Также, по условию, АС = ВС, то есть треугольник АВС является равнобедренным, и мы можем нарисовать высоту из вершины В на основание АС. Обозначим эту высоту через х.

Тогда, по теореме Пифагора, получаем:

AB² = BV² + h²

В то же время, мы знаем, что AB = 30 и BV = (AC-х), так как ВС = АС, а высоты из вершины В и С равны.

Подставляя значения, получаем:

30² = (AC-х)² + (AC*0.8)²

Раскрываем квадрат скобки:

900 = AC² - 2х·AC + х² + 0.64·AC²

Переносим всё в левую часть и собираем квадратное уравнение:

1.64·AC² - 2х·AC + (х² - 900) = 0

Решаем его по формуле:

AC = (2х ± √(4х² - 4·1.64·(х²-900))) / 2·1.64

AC = х ± √(х² - 1.64·(х²-900)) / 1.64

AC = х ± √(900 - 0.64·х²) / 1.28

Здесь мы использовали формулу дискриминанта ∆ = b² - 4ac и формулу корней уравнения x₁,₂ = (-b ± √∆) / 2a.

Теперь осталось найти значение х. Для этого обратимся к треугольнику АВС и воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ВАР:

AC² = х² + (0.6AC)²

Раскрываем квадрат справа:

AC² = х² + 0.36AC²

0.64AC² = х²

х = 0.8AC

Подставляем значение х в формулу для AC:

AC = 0.8AC ± √(900 - 0.64·(0.8AC)²) / 1.28

Переносим 0.8AC в левую часть:

0.2AC = ±√(900 - 0.64·(0.8AC)²) / 1.28

Возводим обе части в квадрат:

0.04AC² = (900 - 0.64·(0.8AC)²) / 1.64

Умножаем обе части на 1.64:

0.0656·AC² - 360 = -0.64·AC²

Переносим все члены в левую часть:

1.7056·AC² = 360

AC² = 211.02

AC ≈ 14.5

Ответ: AC ≈ 14.5.