Question

Найдите углы треугольника ABC, если A(−1; √3), B(1; −√3), C(1/2; √3).

Answer 1

Длины сторон треугольника
AB = √((-1-1)² + (√3+√3)²) = √(2² + (2√3)²) = √(4 + 4*3) = √16 = 4
AC = √((-1-1/2)² + (√3-√3)²) = √((3/2)²) = 3/2
BC = √((1-1/2)² + (-√3-√3)²) = √((1/2)² + (2√3)²) = √(1/4 + 4*3) = √(1/4 + 12) = √(49/4) = 7/2
Углы треугольника 4, 3/2, 7/2 точно такие же, как у подобного ему треугольника со сторонами 8, 3, 7. только считать будет проще
Теорема косинусов для малой стороны
3² = 8² + 7² - 2*7*8*cos(α)
2*7*8*cos(α) = 8² + 7² - 3²
cos(α) = (8² + 7² - 3²)/(2*7*8) = (64 + 49 - 9)/112 = 104/112 = 26/28 = 13/14
α = arccos(13/14)
Теорема косинусов для средней стороны
cos(β) = (8² + 3² - 7²)/(2*3*8) = (64 + 9 - 49)/48 = 24/48 = 1/2
β = arccos(1/2) = 60°
третий угол можно найти из условия равенства суммы углов 180°.
Но можно и по теореме косинусов
cos(γ) = (3² + 7² - 8²)/(2*7*3) = (9 + 49 - 64)/42 = -6/42 = -1/7
γ = arccos(-1/7)

Answer 2

Понял, давай решим. Углы треугольника можно найти, используя координаты вершин и знание того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Пусть $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$ - координаты вершин треугольника ABC.

Длины сторон можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2}$

$CA = \sqrt{(x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2}$

После этого можно использовать закон косинусов для нахождения углов треугольника:

$\cos(A) = \frac{BC^2 + CA^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot CA}$

$\cos(B) = \frac{CA^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot CA \cdot AB}$

$\cos(C) = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$

Теперь можно подставить значения и вычислить углы. Что думаешь?