Question

У рівнобічній трапеції з гострим кутом 60° і периметром 144см діагональ ділить середню лінію на відрізки, різниці між якими дорівнює 16 см. Знайдіть основи трапеції.(с рисунком) В равнобедренной трапеции с острым углом 60 ° и периметру 144см диагональ делит среднюю линию на отрезки, разницы между которыми равно 16 см. Найдите основания трапеции. (С рисунком)

Answer 1

Проведём высоты ВЕ и СК :

Пусть АЕ = х см , тогда

1) Рассмотрим ∆ АВЕ ( угол АЕВ = 90° ) :

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90° =>

угол ВАЕ + угол АВЕ = 90°

угол АВЕ = 90° - 60° = 30°

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы =>

АВ = 2 × АЕ = 2х

АВ = CD = 2x

Пусть МО = у , тогда ОN = 16 + y

2) Рассмотрим ∆ АВС :

АМ = МВ , МО || ВС => АО = ОС

MO - средняя линия

ВС = 2 × МО = 2у

ВС = EK = 2y

3) Рассмотрим ∆ САD :

CN = ND , ON || АD => CO = OA

ON - cредняя линия

AD = 2 × ON = 2 × ( 16 + y )

Но с другой стороны ,

АD = AE + EK + KD = x + 2y + x = 2x + 2y

2 × ( 16 + y ) = 2x + 2y

32 + 2y = 2x + 2y

2x = 32

x = 16 cm => AE = KD = 16 cm

AB = CD = 2x = 2 × AE = 2 × 16 = 32 cm

P abcd = AB + BC + CD + AD = 32 + 2y + 32 + 2y + 32 = 4y + 96

4y + 96 = 144

4y = 48

y = 12 cm => BC = EK = 12 cm

Значит, ВС = 24 см , АD = 56 cm

ОТВЕТ: 24 см ; 56 см

Answer 2

Давайте позначимо основи трапеції як "a" і "b". Зауважимо, що трапеція є рівнобічною, і одна з її внутрішніх кутів дорівнює 60 градусів. Оскільки ми знаємо, що діагональ ділить середню лінію на два відрізки, різниця між якими дорівнює 16 см, ми можемо позначити ці відрізки як "x" і "x + 16".

Давайте розглянемо схему трапеції:

cssCopy code
      A ---------- B
       /         \
      /           \
     /             \
    /               \
   /                 \
  /___________________\
 C                    D

Знаючи це, ми можемо записати рівняння для периметра трапеції:

2a + x + x + 16 + b = 144

Також, оскільки трапеція є рівнобічною, ми можемо записати рівняння для відношення сторін "a" і "b" до середньої лінії:

a + b = 2x

Тепер ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими:

1. 2a + 2x + 16 + b = 144
2. a + b = 2x

Давайте вирішимо цю систему. Спростимо друге рівняння, віднімемо від першого друге:

(2a + 2x + 16 + b) - (a + b) = 144 - 0

Це дає нам:

a + 2x + 16 = 144

Тепер виразимо "a" з першого рівняння:

a = 2x - 16

Тепер підставимо це значення "a" в друге рівняння:

(2x - 16) + b = 2x

Тепер віднімемо 2x з обох боків:

-16 + b = 0

Тепер додамо 16 до обох боків:

b = 16

Отже, ми знайшли, що одне з основань трапеції дорівнює 16 см. Тепер ми можемо використати друге рівняння для знаходження значення "a":

a = 2x - 16

a = 2 * 0 - 16

a = -16

Отже, інше основа трапеції дорівнює -16 см. Оскільки довжина не може бути від'ємною, ми можемо відкинути це значення і вважати, що одна основа дорівнює 16 см, а інша основа дорівнює також 16 см.