Question

У рівнобічній трапеції з тупим кутом 120° і периметром 220 см, діагональ ділить середню лінію у відношенні 5:9. Знайдіть бічні сторони трапеції Или на Руском Вравносторонней трапеции с тупым углом 120° и периметром 220 см, Диагональ делит среднюю линию по отношению 5:9. Найдите боковые стороны трапеции.

Answer 1

Відповідь:

В равносторонней трапеции с тупым углом 120° и периметром                    220 см, Диагональ делит среднюю линию по отношению 5:9.

Найдите боковые стороны трапеции.

ОбозначимFE=5x ,EK=9x . Так как FK-средняя линия трапеции, тоFE- средняя линия в треугольнике ABC , . Аналогично EK- средняя линия в треугольникеACD ,AD=2EK=18x .

Проведем высотуCH .

Отрезок HD=AD-BC/2=18x-10x/2=4x

Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна180' , острый угол трапеции равен180'-120'=60' .

Таким образом,                                                                                                        в прямоугольном треугольникеCHD∠ HCD=90'-60'=30'  .

КатетHD , лежащий против этого угла, в два раза меньше гипотенузы. Значит боковая сторона CD=8x .

Периметр трапеции P=AB+BC+CD+AD=8x+10x+8x+19x=44x=220 ;x=5 .

Тогда боковые стороны трапеции равны 8x=8x5=40cм

Ответ: боковые стороны равносторонней  трапецииАВСD :                       AB=CD=40см.

Пояснення:

Answer 2

Давайте позначимо бічні сторони трапеції наступним чином:

• Довша бічна сторона (нижня сторона трапеції) - a см.
• Коротша бічна сторона (верхня сторона трапеції) - b см.
• Основа трапеції - c см.

Периметр трапеції складається з чотирьох сторін: P = a + b + 2c = 220 см.

Ми також знаємо, що у трапеції є тупий кут 120°. Це означає, що відношення коротшої бічної сторони (b) до довшої бічної сторони (a) можна обчислити за допомогою тригонометричних функцій.

Трохи з геометрії ми знаємо, що у трикутнику, в якому один з кутів 120°, відношення протилежної сторони (b) до прилеглої сторони (c) дорівнює $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Тобто:

$\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Також, нам сказано, що діагональ трапеції ділить середню лінію у відношенні 5:9. Це означає, що відношення довжини половини середньої лінії (яка рівна $\frac{a + b}{2}$) до довжини діагоналі (яка ми позначимо як d) дорівнює $\frac{5}{9}$. Тобто:

$\frac{\frac{a + b}{2}}{d} = \frac{5}{9}$.

Ми маємо дві рівності, і тепер ми можемо розв'язати цю систему рівнянь, щоб знайти значення a, b та c.

Спочатку виразимо b відносно c:

$\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Звідси ми отримуємо:

$b = \frac{c\sqrt{3}}{3}$.

Тепер виразимо a відносно b:

$a = \frac{2d}{5}$.

Тепер вставимо ці вирази для a і b у перше рівняння (периметр):

$\frac{2d}{5} + \frac{c\sqrt{3}}{3} + 2c = 220$.

Ми також можемо виразити d відносно c, використовуючи друге рівняння:

$d = \frac{5(a + b)}{18}$.

Підставимо вирази для a і b:

$d = \frac{5\left(\frac{2d}{5} + \frac{c\sqrt{3}}{3}\right)}{18}$.

Тепер розв'яжемо це рівняння для d:

$d = \frac{2d}{9} + \frac{c\sqrt{3}}{9}$.

Перегрупуємо його:

$\frac{7d}{9} = \frac{c\sqrt{3}}{9}$.

Тепер поділимо обидві сторони на $\frac{\sqrt{3}}{9}$:

$\frac{7d}{9} \cdot \frac{9}{\sqrt{3}} = c$.

Звідси ми отримуємо:

$7d\sqrt{3} = c$.

Тепер ми маємо вираз для c відносно d. Ми також маємо перше рівняння для периметра:

$\frac{2d}{5} + \frac{c\sqrt{3}}{3} + 2c = 220$.

Підставимо значення c з другого рівняння в перше:

$\frac{2d}{5} + \frac{7d\sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \frac{7d\sqrt{3}}{9} = 220$