Question

Помогите пожалуйста.Діагональ проведена через середню лінію рівнобічної трапеції дорівнює 4 см.Діагональ утворює з основою кут який дорівнює 60 градусів.Потрібно знайти середню лінію трапеції(на українській).Или Диагональ проведена через среднюю линию равносторонней трапеции равна 4 см.Диагональ образует с основанием угол равный 60 градусам.Нужно найти среднюю линию трапеции.

Answer 1

Пусть верхнее основание b, нижнее a, и
a = 2x+b
x+b = d*cos(60) = 4/2 = 2 см
Средняя линия 
l = 1/2(a+b) = (2x+b+b)/2 = x+b = 2 см

Answer 2

За властивостями трапеції, середня лінія трапеції дорівнює половині суми довжин основ.

Оскільки діагональ проведена через середню лінію трапеції, то ця діагональ ділиться на дві рівні частини середньою лінією, тому половина діагоналі дорівнює довжині середньої лінії. За теоремою косинусів:

$\frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos(\angle AOB)}}{2},$

де $d$ - діагональ трапеції, $a$ та $b$ - довжини основ, $\angle AOB$ - кут між діагоналлю та основою трапеції.

Знаємо, що $d=4$ та $\angle AOB=60^\circ$. Треба знайти $a$, тому використаємо теорему синусів:

$\frac{a}{\sin(\angle AOB)} = \frac{d}{\sin(\angle ADB)},$

де $\angle ADB=120^\circ$.

Підставляючи вирази для $\sin(\angle AOB)$ та $\sin(\angle ADB)$ і підставляючи відомі значення, отримуємо:

$a = \frac{2d\sin(\angle AOB)}{\sin(\angle ADB)} = \frac{2\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}.$

Тоді довжина середньої лінії трапеції дорівнює:

$m = \frac{a+b}{2} = \frac{4\sqrt{3}+b}{2}.$

Враховуючи, що діагональ ділиться на дві рівні частини, $b=d/2=2$, тому:

$m = \frac{4\sqrt{3}+2}{2} = 2\sqrt{3}+1.$

Отже, середня лінія трапеції дорівнює $2\sqrt{3}+1$ см.