Question

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см а периметр треугольника АВМ равен 24 см

Answer 1

АВ+ВМ = 32/2=16
АМ=АВМ-(АВ+ВМ)=24-16=9 см

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами медиан в равнобедренных треугольниках.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с медианой AM, проведенной из вершины A к основанию BC. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то медиана AM также является биссектрисой угла BAC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то стороны AB и AC равны между собой. Обозначим их длину через x. Тогда периметр треугольника ABC равен:

\(AB + AC + BC = x + x + BC = 2x + BC.\)

У нас дано, что периметр треугольника ABC равен 32 см:

\(2x + BC = 32.\)

Теперь рассмотрим треугольник ABM. У нас есть медиана AM. Поскольку медиана делит сторону BC пополам, то BM = MC. Таким образом, стороны AB и AC также равны BM и MC.

Теперь периметр треугольника ABM:

\(AB + BM + AM = x + \frac{x}{2} + AM = \frac{3x}{2} + AM.\)

У нас дано, что периметр треугольника ABM равен 24 см:

\(\frac{3x}{2} + AM = 24.\)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(2x + BC = 32,\) 2. \(\frac{3x}{2} + AM = 24.\)

Чтобы решить систему уравнений, нужно выразить BC и AM через x и затем найти значение x.

Из первого уравнения выражаем BC:

\(BC = 32 - 2x.\)

Подставляем это выражение во второе уравнение:

\(\frac{3x}{2} + AM = 24,\)

\(\frac{3x}{2} + AM = 24,\)

\(AM = 24 - \frac{3x}{2}.\)

Теперь можем подставить это значение AM в выражение для BC:

\(AM = 24 - \frac{3x}{2}.\)

\(BC = 32 - 2x.\)

Теперь приравниваем их:

\(24 - \frac{3x}{2} = 32 - 2x.\)

Умножаем обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

\(48 - 3x = 64 - 4x.\)

Теперь добавляем 4x к обеим сторонам и вычитаем 48:

\(x = 16.\)

Теперь, когда мы нашли значение x, можем подставить его обратно в уравнения, чтобы найти длину медианы AM:

\(AM = 24 - \frac{3 \times 16}{2} = 24 - 24 = 0.\)

Итак, длина медианы AM равна 0.