Question

Окружность касается стороны BC треугольни-ка ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — вточках N и P соответственно. Вписанная в этот треугольникокружность касается стороны BC в точке K, а стороны AB —в точке L. Докажите, что: BK = CM

Answer 1

Катерина, а ты правильно условия переписала??

Answer 2

Для доказательства BK = CM в данном треугольнике ABC, мы можем использовать свойство вписанных и вневписанных окружностей. Для начала, давайте обратим внимание на следующие факты:

1. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. Это означает, что отрезок BK является радиусом этой вписанной окружности.

2. Окружность, описанная вокруг треугольника ABC (описанная окружность), касается стороны BC в точке M. Это означает, что отрезок CM является радиусом этой описанной окружности.

3. Отрезки BL и LC являются полуотрезками стороны BC, так как точка K является точкой касания вписанной окружности с этой стороной. Точно так же, отрезки BM и MC являются полуотрезками стороны BC, так как точка M является точкой касания описанной окружности с этой стороной.

Теперь мы видим, что у нас есть две окружности, одна вписанная, а другая описанная, и обе они касаются стороны BC. По свойству окружностей, радиусы, проведенные к точке касания, перпендикулярны к соответствующим сторонам треугольника. Таким образом, у нас есть следующие перпендикуляры:

1. BK - перпендикуляр к стороне BC из вписанной окружности.
2. CM - перпендикуляр к стороне BC из описанной окружности.

Теперь, так как эти перпендикуляры проведены из одной и той же точки (точки касания окружностей с стороной BC), они равны по длине. То есть BK = CM.

Таким образом, мы доказали, что BK = CM в данном треугольнике ABC.