Question

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM , касается боковой стороны KL в точке B , а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O_1 касается основания ML и продолжений боковых сторон. а) Докажите, что треугольник OLO_1 прямоугольный. б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK =16 .

Answer 1

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM , касается боковой стороны KL в точке B , а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.                           

 а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.                            

 б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK =16

––––––––––––––

а)

Пусть окружность с центром О1 касается продолжения KL в точке С.

Обе окружности вписаны в один и тот же угол МАL. Центр вписанной в угол окружности лежит на  его биссектрисе. 

Треугольник MKL- равнобедренный, следовательно, АК - его биссектриса и высота,⇒ 

АК⊥ML.  Т.к.  центры обеих окружностей лежат на АК

а угол КАМ - прямоугольный, то  ML-  общая касательная, и точка А -  общая точка касания. 

В то же время эти окружности вписаны в углы КLA и  CLA соответственно, и центры окружностей лежат на  биссектрисе LO - для вписанной в треугольник окружности с центром О, и биссектрисе LO1- для вневписанной окружности с центром О1.   

Угол KLC- развернутый, поэтому  углы КLA CLA- смежные. 

LO и LО1- биссектрисы углов КLA и ALC и делят их пополам, а сумма половин смежных углов равна 90º.⇒

угол ОLО1=90º, что и требовалось доказать. 

б)

Треугольник ОLO1 прямоугольный. АL в нем высота ( т.к. угол О1АL=90º).

Высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе - среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу, а в нашем случае - между радиусами обеих окружностей. 

AL² =ОА•О1А

Длина AL неизвестна, но ее можно найти. 

АК=16, ОА=6, ⇒ОК=10.

Из ⊿ КВО по т.Пифагора найдем КВ=8 (  кстати,  отношение катета ОВ к гипотенузе КО=3:5 – треугольник египетский).

В ⊿ КАL отрезки АL = BL -  отрезки касательных из одной точки ( свойство). 

Примем  КL и  AL =x

Тогда по т.Пифагора 

КL²=KA²+AL²

(8+x)²=256+x²⇒

64+16x=256

16x=192

x=12

AL² =ОА•О1А

144=6 O1A

O1A=24 - это радиус второй окружности.