Question

Даны точки: A(1;2;3), B(5;-1;2), C(0;1;1), D(-4;3;5). Доказать, что данные точки вершины пирамиды.

Answer 1

Доказательством, что данные точки - это вершины пирамиды, служит несоответствие координат четвёртой точки уравнению плоскости, которой принадлежат другие три точки.

Составим уравнение плоскости, которой принадлежат точки А, В и С.

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.                Тогда уравнение плоскости определяется из уравнения:

(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив заданные координаты точек, получаем:

5x + 9y - 7z - 2 = 0 .

Подставим координаты точки Д:

5*(-4) + 9*3 - 7*5 - 2 = -20 + 27 - 35 - 2 = -30.

То есть не равно нулю. Значит, точка Д не принадлежит плоскости точек А, В и С - это вершина пирамиды.

             

Answer 2

Для доказательства, что данные точки A, B, C и D являются вершинами пирамиды, нам нужно убедиться, что они образуют пирамиду, то есть такую геометрическую фигуру, у которой одна точка (вершина) соединяется с остальными тремя точками (основаниями). Поскольку у нас есть четыре точки, и они могут образовать только одну пирамиду, давайте проверим, что треугольники ABC, ABD, BCD и CAD являются треугольниками, и что одна из этих точек - вершина пирамиды.

1. Проверим, что ABC - треугольник:

   • Вектор AB = B - A = (5 - 1, -1 - 2, 2 - 3) = (4, -3, -1)
   • Вектор AC = C - A = (0 - 1, 1 - 2, 1 - 3) = (-1, -1, -2)

   Векторное произведение векторов AB и AC: AB x AC = ((-3) * (-2) - (-1) * (-1), (-1) * (-1) - 4 * (-2), 4 * (-1) - (-3) * (-1)) = (5, 6, 1)

   Если векторное произведение AB x AC не равно нулю, то треугольник ABC существует. В данном случае, AB x AC != 0, поэтому ABC - треугольник.

2. Проверим, что ABD - треугольник:

   • Вектор BD = D - B = (-4 - 5, 3 - (-1), 5 - 2) = (-9, 4, 3)
   • Вектор AD = D - A = (-4 - 1, 3 - 2, 5 - 3) = (-5, 1, 2)

   Векторное произведение векторов BD и AD: BD x AD = ((4) * (2) - (3) * (1), (3) * (-5) - (-9) * (2), (-9) * (1) - (4) * (-5)) = (8 - 3, -15 - (-18), (-9) - (-20)) = (5, 3, -11)

   Если векторное произведение BD x AD не равно нулю, то треугольник ABD существует. В данном случае, BD x AD != 0, поэтому ABD - треугольник.

3. Проверим, что BCD - треугольник:

   • Вектор CD = D - C = (-4 - 0, 3 - 1, 5 - 1) = (-4, 2, 4)
   • Вектор BD = D - B = (-4 - 5, 3 - (-1), 5 - 2) = (-9, 4, 3)

   Векторное произведение векторов CD x BD: CD x BD = ((2) * (3) - (4) * (4), (4) * (-9) - (-4) * (3), (-4) * (4) - (2) * (-9)) = (-22 - (-16), (-36) - (-12), (-16) - (-18)) = (-6, -24, 2)

   Если векторное произведение CD x BD не равно нулю, то треугольник BCD существует. В данном случае, CD x BD != 0, поэтому BCD - треугольник.

4. Проверим, что CAD - треугольник:

   • Вектор AD = D - A = (-4 - 1, 3 - 2, 5 - 3) = (-5, 1, 2)
   • Вектор CD = D - C = (-4 - 0, 3 - 1, 5 - 1) = (-4, 2, 4)

   Векторное произведение векторов AD x CD: AD x CD = ((1) * (4) - (2) * (-4), (-5) * (4) - (-4) * (2), (-4) * (2) - (1) * (-5)) = (12 - 8, (-20) - (-8), (-8) - (-5)) = (4, -12, -3)

   Если векторное произведение AD x CD не равно нулю, то треугольник CAD существует. В данном случае, AD x CD != 0, поэтому CAD - треугольник.

Таким образом, мы убедились, что треугольники ABC, ABD, BCD и CAD существуют, и каждый из них имеет одну общую вершину, которая является вершиной пирамиды. Следовательно, точки A, B, C и D действительно являются вершинами пирамиды.