Question

В остроугольном треугольнике АВС, ВН-высота. Докажите что, вс^2=АВ^2+АС^2-2АС*АН

Answer 1

Ответ:

прошу прощения за почерк

Answer 2

Для доказательства данного утверждения в остроугольном треугольнике ABC с высотой BN, можно воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами подобных треугольников.

1. Начнем с утверждения, что треугольник ABC является остроугольным. Это означает, что все его углы острые.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABN. В этом треугольнике у нас есть следующее соотношение, которое следует из теоремы Пифагора:

   AB^2 = AN^2 + BN^2 (1)

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACN. В этом треугольнике у нас также есть следующее соотношение:

   AC^2 = AN^2 + CN^2 (2)

4. Теперь выразим CN через BN, используя то, что BN является высотой треугольника ABC и перпендикулярна AC. Мы знаем, что высота делит основание треугольника на две равные части, поэтому CN = NC.

5. Теперь мы можем подставить (2) и (3) в (1), чтобы получить:

   AB^2 = AN^2 + BN^2 AC^2 = AN^2 + CN^2

   AB^2 + AC^2 = 2*AN^2 + BN^2 + CN^2

6. Теперь заметим, что BN^2 + CN^2 = BC^2 (по теореме Пифагора для треугольника BCN). Таким образом, мы можем переписать последний шаг следующим образом:

   AB^2 + AC^2 = 2*AN^2 + BC^2

7. Теперь мы видим, что справа у нас есть 2AN^2, и мы хотим доказать, что AB^2 + AC^2 = 2AS^2, где AS - сторона треугольника ABC, противолежащая углу A.

8. Из подобия треугольников ABC и ANS (где S - основание высоты BN) следует, что:

   AS/AN = AC/BC

   Отсюда AS = (AC/BC)*AN

9. Теперь мы можем подставить это значение для AS в (7):

   AB^2 + AC^2 = 2AN^2 + BC^2 AB^2 + AC^2 = 2AN^2 + BC^2 AB^2 + AC^2 = 2*AN^2 + BC^2

   AB^2 + AC^2 = 2*AN^2 + BC^2

10. Теперь мы видим, что справа у нас есть 2AN^2, и мы хотим доказать, что AB^2 + AC^2 = 2AN^2.

11. Мы можем выразить BC через стороны треугольника ABC с помощью теоремы косинусов:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2ABAC*cos(A)

12. Теперь мы можем подставить это значение для BC^2 в (10):

AB^2 + AC^2 = 2AN^2 + AB^2 + AC^2 - 2ABACcos(A)

13. Теперь мы можем выразить AB^2 + AC^2 через 2*AN^2 и другие элементы:

AB^2 + AC^2 = 2AN^2 + AB^2 + AC^2 - 2ABACcos(A)

0 = 2AN^2 - 2ABACcos(A)

14. Делим обе стороны на 2:

AN^2 - ABACcos(A) = 0

15. Теперь мы видим, что слева у нас есть AN^2 и ABACcos(A), и мы хотим доказать, что AN^2 = ABACcos(A).

16. Поскольку треугольник ABC остроугольный, то угол A острый, и cos(A) > 0. Поэтому мы можем разделить обе стороны на cos(A):

AN^2/cos(A) - AB*AC = 0

17. AN/cos(A) равно высоте BN (так как tan(A) = BN/AN), поэтому мы можем продолжить:

BN - AB*AC = 0

18. Теперь мы видим, что BN = AB*AC, что доказывает исходное утверждение:

BN = AB*AC

Таким образом, доказано, что в остроугольном треугольнике ABC выполняется равенство:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2ABAC*cos(A)