Question

Найдите площадь круга, вписанного в ромб со стороной 8 и острым углом 60 градусов. Ответ поделите на

Answer 1

Ответ:

8pi.

Круг, вписанный в ромб.

Answer 2

Для начала, нам нужно найти радиус вписанного круга. Диагонали ромба делятся пополам под прямым углом, поэтому они равны 8 и 8 (половина длины диагонали ромба).

Так как ромб делится на четыре равных треугольника, мы можем рассмотреть один из таких треугольников. У нас есть угол в 60 градусов и гипотенуза равная 8 (половина длины диагонали). Мы можем найти длину прилегающей стороны (половину стороны ромба) используя тригонометрический косинус:

$a = \frac{\text{гипотенуза}}{\cos(\text{угол})} = \frac{8}{\cos(60^\circ)} \approx 16.$

Теперь мы можем найти радиус вписанного круга, который является высотой треугольника. Мы знаем, что высота делит равнобедренный треугольник (который образуется при проведении радиуса к точке касания с окружностью) на два равных треугольника. Половина основания равна половине стороны ромба, то есть $8/2 = 4$.

Теперь можем применить тангенс угла 30 градусов (половина от 60 градусов, так как у нас равнобедренный треугольник):

$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{половина основания}}$

$\frac{r}{4} = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

$r = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Теперь, когда у нас есть радиус, мы можем найти площадь круга:

$S = \pi r^2 \approx \pi \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 \approx \frac{16\pi}{3}.$

Итак, площадь вписанного круга в ромбе со стороной 8 и острым углом 60 градусов составляет примерно $\frac{16\pi}{3}$ квадратных единиц.