Question

Сумма длин высоты и радиуса основания цилиндра равна 30 см, а площадь боковой поверхности цилиндра относится к сумме площадей оснований как 7:3. Найдите объем цилиндра

Answer 1

Ответ:

V=1701π см³

Объяснение:

AB=h, AO=r

h+r=30

Sбок/(2Sосн)=7/3

Sбок=2πrh

Sосн=πr²

7/3=2πrh/(2πr²)=h/r

3h=7r

h=30-r

3(30-r)=7r

90-3r=7r

10r=90

r=9

h=30-r=30-9=21

V=πr²h=π•9²•21=1701π см³

Answer 2

Давайте обозначим следующие переменные:

• $h$ - длина высоты цилиндра
• $r$ - радиус основания цилиндра
• $S_b$ - площадь одного из оснований цилиндра
• $S_c$ - площадь боковой поверхности цилиндра
• $V$ - объем цилиндра

Известно, что сумма длины высоты и радиуса основания цилиндра равна 30 см: $h + r = 30 \, \text{см}$

Также известно, что площадь боковой поверхности цилиндра относится к сумме площадей его оснований как 7:3: $\frac{S_c}{2\pi rh} = \frac{7}{3}$

Сначала давайте выразим $r$ из первого уравнения: $r = 30 - h$

Теперь мы можем подставить это выражение для $r$ во второе уравнение и решить его относительно $S_c$: $\frac{S_c}{2\pi (30 - h)h} = \frac{7}{3}$

Теперь давайте умножим обе стороны на $2\pi (30 - h)h$, чтобы избавиться от дроби: $S_c = \frac{7}{3} \cdot 2\pi (30 - h)h$

Теперь, когда у нас есть выражение для площади боковой поверхности $S_c$, мы можем найти объем цилиндра $V$. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению окружности основания на высоту: $S_c = 2\pi rh$

Теперь мы можем выразить $h$ из этого уравнения: $h = \frac{S_c}{2\pi r}$

Теперь подставим выражение для $h$ в уравнение для $S_c$: $\frac{7}{3} \cdot 2\pi (30 - \frac{S_c}{2\pi r})\frac{S_c}{2\pi r} = S_c$

Теперь давайте решим это уравнение относительно $S_c$. Умножим обе стороны на $\frac{6\pi r}{7}$, чтобы избавиться от дроби: $12\pi r(30 - \frac{S_c}{2\pi r}) = 7S_c$

Раскроем скобки: $360\pi r - 6S_c = 7S_c$

Теперь сгруппируем все члены, содержащие $S_c$ в одну сторону: $13S_c = 360\pi r$

Изолируем $S_c$: $S_c = \frac{360\pi r}{13}$

Теперь у нас есть значение $S_c$, и мы можем найти объем $V$ с помощью формулы для объема цилиндра: $V = S_b \cdot h = \pi r^2 \cdot h$

Подставим выражение для $h$ из первого уравнения и выражение для $S_c$ из последнего уравнения: $V = \pi (30 - r)^2 \cdot \frac{360\pi r}{13}$

Теперь вычислим этот выражение:

$V = \frac{360\pi}{13} \cdot (30r^2 - r^3)$

Таким образом, объем цилиндра равен $\frac{360\pi}{13} \cdot (30r^2 - r^3)$