Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(16;3), B(24;15), C(18;19) и D(10;7). пожалуйста помогите даю 50 баллов​

Answer 1

1. Вспомним признак прямоугольника: если в четырёхугольнике три угла равны по 90°, то этот четырёхугольник - прямоугольник. Рассмотрим и проверим этот признак в данной задаче:

$\begin{cases}\overrightarrow{AB}=24-16=\underline{8},\\\overrightarrow{AB}=15-3=\underline{12}\end{cases} \Rightarrow \boldsymbol{\Big(8; \: 12\Big)}$

$\begin{cases}\overrightarrow{BC}=18-24=\underline{-6},\\\overrightarrow{BC}=19-15=\underline{4}\end{cases} \Rightarrow \boldsymbol{\Big(-6; \: 4\Big)}$

$\begin{cases}\overrightarrow{AD}=10-16=\underline{-6},\\\overrightarrow{AD}=7-3=\underline{4}\end{cases} \Rightarrow \boldsymbol{\Big(-6; \: 4\Big)}$

$\begin{cases}\overrightarrow{CD}=10-18=\underline{-8},\\\overrightarrow{CD}=7-19=\underline{-12}\end{cases} \Rightarrow \boldsymbol{\Big(-8; \: -12\Big)}$

Вспомним свойство о скалярном произведении векторов: если произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Найдём такие пары векторов:

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\Big(8\cdot (-6)\Big)+\Big(12\cdot4\Big)=-48+48=0-\checkmark$

$\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AD}=\Big(-8\cdot (-6)\Big)+\Big(-12\cdot4\Big)=48-48=0-\checkmark$

$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD}=\Big(-6\cdot (-8)\Big)+\Big(4\cdot(-12)\Big)=48-48=0-\checkmark$

Теперь мы можем утверждать, что фигура "ABCD" - прямоугольник, т.к. углы "B", "C" и "D" составляют по 90° каждый.

Что и требовалось доказать.

2. Площадь прямоугольника - произведение его длины и ширины. Поэтому сначала нужно найти, чему равна длина и ширина.

$| \overrightarrow{AB} |=\sqrt{8^2+12^2}=\sqrt{64+144}=\sqrt{208}=\underline{4\sqrt{13}} \\ \\ | \overrightarrow{BC} |=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=\underline{2\sqrt{13}}$

Теперь, когда нам известна и длина, и ширина, найдём площадь прямоугольника:

$S_{ABCD}=4\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{13}=4 \cdot 2 \cdot 13=\boldsymbol{104}$ см².

Ответ: 104 см².

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно убедиться, что его противоположные стороны перпендикулярны. Для этого мы можем использовать коэффициенты наклона (угловые коэффициенты) отрезков AB, BC, CD и DA.

Уравнение прямой вида y = mx + b, где m - коэффициент наклона, может быть использовано для нахождения коэффициента наклона отрезка между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) следующим образом:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Давайте найдем коэффициенты наклона для сторон AB, BC, CD и DA:

1. Сторона AB: m_AB = (15 - 3) / (24 - 16) = 12 / 8 = 3/2

2. Сторона BC: m_BC = (19 - 15) / (18 - 24) = 4 / (-6) = -2/3

3. Сторона CD: m_CD = (7 - 19) / (10 - 18) = -12 / (-8) = 3/2

4. Сторона DA: m_DA = (3 - 7) / (16 - 10) = -4 / 6 = -2/3

Теперь давайте проверим, что противоположные стороны имеют перпендикулярные коэффициенты наклона. Прямоугольник имеет эту характеристику.

m_AB * m_CD = (3/2) * (3/2) = 9/4 m_BC * m_DA = (-2/3) * (-2/3) = 4/9

Как видите, m_AB * m_CD ≠ m_BC * m_DA, и поэтому противоположные стороны AB и CD, а также BC и DA, имеют перпендикулярные коэффициенты наклона. Это означает, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, нам нужно найти длины его сторон. Давайте сначала найдем длины сторон AB и BC, используя расстояние между точками.

Длина AB: AB = √((24 - 16)^2 + (15 - 3)^2) = √(8^2 + 12^2) = √(64 + 144) = √208

Длина BC: BC = √((18 - 24)^2 + (19 - 15)^2) = √((-6)^2 + 4^2) = √(36 + 16) = √52

Теперь мы знаем длины сторон AB и BC. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон:

Площадь ABCD = AB * BC = (√208) * (√52) = √(208 * 52) = √(10816) = 104

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 104 квадратным единицам.