Question

Помогите (30 баллов дам) В прямоугольном треугольнике ABC угол между биссектрисой CK и выстой CH,проведёнными из вершины прямого угла C,равен 15 градусов.Сторона AB=14см.Найдите сторону AC,если известно,что точка K лежит между B и H.

Answer 1

Ответ:

............

........

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства биссектрисы треугольника и знание о том, что угол между биссектрисой CK и высотой CH равен 15 градусов. Давайте обозначим следующие величины:

1. Пусть BC обозначает катет треугольника ABC, который прилегает к прямому углу.
2. Пусть AC обозначает гипотенузу треугольника ABC.
3. Пусть CK обозначает биссектрису угла C.
4. Пусть CH обозначает высоту, проведенную из вершины C.
5. Пусть BK обозначает отрезок между точками B и K.

Известно, что угол между CK и CH равен 15 градусов. Также, так как точка K лежит между B и H, то угол CBK также равен 15 градусам (так как BK является продолжением CH).

Теперь у нас есть треугольник CBK с углом 15 градусов при основании и гипотенузой CK, а также прямоугольный треугольник ABC с известной гипотенузой AC и катетом BC.

Используя тригонометрию, мы можем записать следующее уравнение для треугольника CBK:

$\tan(15^\circ) = \frac{BK}{CK}$

Также, для треугольника ABC:

$\sin(15^\circ) = \frac{BC}{AC}$

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (BK и AC). Мы можем решить их систему.

1. Из первого уравнения: $BK = CK \cdot \tan(15^\circ)$

2. Вставляем это значение BK во второе уравнение: $\sin(15^\circ) = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{14}$ (так как AB = 14 см)

Теперь мы можем решить это уравнение для AC:

$AC = \frac{BC}{\sin(15^\circ)} = \frac{BC}{\sin(15^\circ)} = \frac{CK \cdot \tan(15^\circ)}{\sin(15^\circ)}$

Теперь нам нужно найти значение $\frac{CK}{\sin(15^\circ)}$. Мы знаем, что угол между биссектрисой CK и высотой CH равен 15 градусов, и это является углом деления треугольника. Таким образом, мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса для нахождения этого значения:

$\tan(15^\circ) = \frac{CH}{CK}$

Отсюда:

$CK = \frac{CH}{\tan(15^\circ)}$

Теперь мы можем подставить значение CK в уравнение для AC:

$AC = \frac{CH}{\tan(15^\circ)} \cdot \frac{\tan(15^\circ)}{\sin(15^\circ)} = CH$

Так как CH является высотой треугольника ABC, и мы знаем, что площадь треугольника ABC равна половине произведения его катетов, мы можем выразить CH следующим образом:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot 14$

Отсюда:

$CH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{14} = \frac{S_{ABC}}{7}$

Теперь мы можем найти AC:

$AC = CH = \frac{S_{ABC}}{7}$

Так как площадь треугольника ABC равна половине произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 14$

Теперь мы можем выразить BC:

$BC = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{14} = \frac{S_{ABC}}{7}$

И, наконец, мы можем найти AC:

$AC = \frac{S_{ABC}}{7} = \frac{BC}{7} = \frac{14}{7} = 2$ см

Итак, сторона AC равна 2 см.