Question

Тела вращения, их площади поверхностей и объемы, вписанные и описанные многогранники и тела вращения. 1. В конусе, у которого высота и радиус основания равны 23 см, проведена через вершину плоскость, отсекающая от окружности основания дуги в 90°. Найти полученного сечения. 2. Сторона снования правильной четырёхугольной пирамиды и её высота равны 4 дм. Найти радиус описанного около неё шара. 3. Найти площадь полной поверхности равностороннего цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна Q см2. 4. Высота усеченного конуса равна 6 см, радиусы его оснований 10 см и 2 см. Найти площади его боковой и полной поверхностей. 5. Диаметр шара равен 20 см, высота его сегмента 6 см. Найти площадь сферической поверхности сегмента и его объём.

Answer 1

Солнце, земля, Вода

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из этих заданий по очереди:

1. Для начала найдем радиус конуса. Радиус основания конуса равен 23 см, и у нас есть дуга в 90°, поэтому с помощью тригонометрии можно найти радиус конуса. Этот радиус равен половине радиуса основания: $r = \frac{23}{2}$ см.

Теперь мы можем найти полученное сечение конуса. Сечение представляет собой круг с радиусом, равным радиусу конуса, так как сечение проходит через вершину конуса. Площадь такого круга равна $\pi \cdot (\frac{23}{2})^2$.

2. Для нахождения радиуса описанного около четырёхугольной пирамиды шара можно воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим треугольник, образованный половиной стороны основания пирамиды, её высотой и радиусом описанной сферы. Этот треугольник является прямоугольным.

Половина стороны основания пирамиды: $a = \frac{4}{2} = 2$ дм (декаметры).

Высота пирамиды: $h = 4$ дм.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти радиус описанного около пирамиды шара: $r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17\text{ дм}^2$ $r = \sqrt{17}\text{ дм}$

3. Площадь боковой поверхности цилиндра можно выразить как $Q = 2\pi rh$, где $Q$ - заданная площадь боковой поверхности, $\pi$ - число пи, $r$ - радиус цилиндра, и $h$ - его высота. Нам нужно найти полную площадь поверхности цилиндра. Полная площадь поверхности цилиндра включает две боковые поверхности и два круга на основаниях.

Поэтому, полная площадь поверхности цилиндра равна: $2Q + 2\pi r^2$.

4. Для усеченного конуса, площадь боковой поверхности можно найти по формуле: $S = \pi(R + r)l$, где $R$ и $r$ - радиусы верхнего и нижнего оснований конуса соответственно, $l$ - образующая, которую можно найти по теореме Пифагора.

Для данного усеченного конуса:

$R = 10$ см, $r = 2$ см, $l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136}$ см.

Теперь можем найти боковую поверхность $S$.

5. Для нахождения площади сферической поверхности сегмента и его объема можно воспользоваться следующими формулами:

Площадь сферической поверхности сегмента: $S = 2\pi rh$, где $r$ - радиус сферы (половина диаметра), а $h$ - высота сегмента.

Объем сегмента: $V = \frac{1}{6}\pi h(3R^2 + h^2)$, где $R$ - радиус сферы, $h$ - высота сегмента.

В данном случае $R = 10$ см, $h = 6$ см. Сначала найдем площадь сферической поверхности сегмента, а затем объем сегмента.