Question

Вычислить наибольший объём конуса, если длина образующей равна 22,8см.

Answer 1

1) Объём конуса равен (формула) (1/3)π*R²*h

R - радиус

h - высота

Теорема Пифагора в этом случае: R² + h²=L², выразим R² = (L²- h²) м²

Получилось, что V = (π*( L² - h²)*h)/3 = (π/3)*( L²*h - h³) м³.  

Далее: V'(h) = (π/3)*( L² - 3h²).  (Это производная)

Нужно прировнять производную к нулю, видим: (π/3)*( L² - 3h²) = 0.  

Теперь и второе выражение приравниваем к нулю:

И выражаем: h = √(( L²)/3) = L/√3 = 22,8/√3 примерно равно 4,77493 см.

h у нас положительно число (т.е больше нуля) получается, что: h= (L/√3)! Максимальная!

4,77/√3=(примерно)3.

И нужно подставить значение высоты: h = (L/√3) в уравнение объёма:

V = (π/3)*(L²*(L/√3)-(L/√3)³) = (2π*L3)/(3*√3).

Получаем то, что

V = (2π*22,8*3)/(2/√3) примерно получаем 118$\pi$ cм³.  

Ответ: 118$\pi$

А, если посчитать с числом пи, то получим примерно 371 см²

Answer 2

Для вычисления наибольшего объема конуса, когда известна длина образующей, мы должны определить радиус конуса, который дает максимальный объем. Это можно сделать с помощью метода дифференциального исчисления.

Обозначим радиус конуса как "r" и длину образующей как "l". Мы также знаем, что у конуса образующая, радиус и высота связаны следующим образом:

l² = r² + h²

где "h" - это высота конуса. Теперь нам нужно выразить "h" через "r" и "l". Мы можем использовать подобные треугольники:

h/r = l/√(l² - r²)

Теперь мы можем выразить высоту "h" через "r" и "l":

h = (l/√(l² - r²)) * r

Теперь мы можем выразить объем конуса через радиус и высоту:

V = (1/3) * π * r² * h

Подставим выражение для "h" в это уравнение:

V = (1/3) * π * r² * [(l/√(l² - r²)) * r]

Теперь у нас есть выражение для объема конуса в зависимости от радиуса "r" и длины образующей "l". Мы хотим найти максимальное значение этой функции. Для этого нам нужно взять производную этой функции по "r", приравнять ее к нулю и найти значение "r", при котором это происходит.

dV/dr = 0

Сначала найдем производную функции V по "r":

dV/dr = (1/3) * π * [(l/√(l² - r²)) * r]² + (1/3) * π * r² * [(-l * r) / (l² - r²)^(3/2)]

Теперь установим это равенство нулю:

(1/3) * π * [(l/√(l² - r²)) * r]² + (1/3) * π * r² * [(-l * r) / (l² - r²)^(3/2)] = 0

Умножим обе стороны на 3/π:

[(l/√(l² - r²)) * r]² + r² * [(-l * r) / (l² - r²)^(3/2)] = 0

Теперь решим это уравнение для "r". Это может быть сложной задачей, и мы можем использовать численные методы или программу для нахождения численного решения. Найдя значение "r", мы сможем подставить его обратно в формулу для объема конуса, чтобы найти максимальный объем.

Итак, в этом уравнении мы ищем значение "r", при котором производная объема равна нулю, что соответствует максимальному объему конуса при данной длине образующей.