Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: у′′ + у′ − 2у = 6х^2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для поиска общего решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, мы сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

Однородное уравнение соответствует части без правой части (то есть, уравнение без 6x^2):

у'' + у' - 2у = 0

Чтобы решить это однородное уравнение, предположим, что y имеет вид:

y = e^mx

Где m - некоторая константа, и e - основание натурального логарифма.

Теперь вычислим первую и вторую производные:

y' = me^mx y'' = m^2e^mx

Подставим их в наше однородное уравнение:

m^2e^mx + me^mx - 2e^mx = 0

Теперь мы можем сократить e^mx из всех членов уравнения:

m^2 + m - 2 = 0

Это квадратное уравнение в отношении m. Решим его с помощью квадратного корня:

m = (-1 ± √(1 + 8))/2 m = (-1 ± √9)/2

m1 = (1 - 3)/2 = -1 m2 = (1 + 3)/2 = 2

Таким образом, у нас есть два корня m: m1 = -1 и m2 = 2.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = C1e^(-x) + C2e^(2x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения равна 6x^2, предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = Ax^2 + Bx + C

Теперь найдем первую и вторую производные частного решения:

y_p'(x) = 2Ax + B y_p''(x) = 2A

Подставим их в неоднородное уравнение:

2A + (2Ax + B) - 2(Ax^2 + Bx + C) = 6x^2

Упростим это уравнение:

2A + 2Ax + B - 2Ax^2 - 2Bx - 2C = 6x^2

Теперь сгруппируем по степеням x:

-2Ax^2 + (2A - 2B)x + (B - 2C + 2A) = 6x^2

Теперь сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях x:

-2A = 6 (коэффициент при x^2) 2A - 2B = 0 (коэффициент при x) B - 2C + 2A = 0 (свободный член)

Из первого уравнения получаем:

A = -3

Из второго уравнения:

2A - 2B = 0 2(-3) - 2B = 0 -6 - 2B = 0 -2B = 6 B = -3

Из третьего уравнения:

B - 2C + 2A = 0 -3 - 2C + 2(-3) = 0 -3 - 2C - 6 = 0 -2C = 9 C = -9/2

Теперь у нас есть значения A, B и C. Частное решение неоднородного уравнения:

y_p(x) = -3x^2 - 3x - 9/2

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1e^(-x) + C2e^(2x) - 3x^2 - 3x - 9/2