Question

При збільшенні радіуса кулі на 2 см її об’єм збільшився на 104pi/3. На скільки при цьому збільшиться площа поверхні кулі?​

Answer 1

Відповідь: фото

Пояснення:

Answer 2

Для знаходження, на скільки збільшиться площа поверхні кулі при збільшенні радіуса, спочатку знайдемо співвідношення між об'ємом та радіусом кулі.

Об'єм кулі обчислюється за формулою: V = (4/3)πr^3,

де V - об'єм кулі, π (пі) - число Пі (приблизно 3,14159), r - радіус кулі.

У вас є інформація, що об'єм збільшився на 104π/3 при збільшенні радіуса на 2 см, тобто:

(4/3)π(r + 2)^3 - (4/3)πr^3 = 104π/3.

Тепер спростимо це рівняння:

(4/3)π[(r + 2)^3 - r^3] = 104π/3.

Знайдемо різницю кубів:

(r + 2)^3 - r^3 = (r^3 + 6r^2 + 12r + 8) - r^3 = 6r^2 + 12r + 8.

Підставимо це значення назад у рівняння для об'єму:

(4/3)π(6r^2 + 12r + 8) = 104π/3.

Тепер спростимо рівняння, розділимо обидві сторони на (4/3)π:

6r^2 + 12r + 8 = 104/3.

Перенесемо 104/3 на ліву сторону:

6r^2 + 12r + 8 - 104/3 = 0.

Зараз ми маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати. Перше помножимо обидві сторони на 3, щоб позбутися дробів:

18r^2 + 36r + 24 - 104 = 0.

18r^2 + 36r - 80 = 0.

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

де a = 18, b = 36, c = -80.

r = (-36 ± √(36^2 - 4 * 18 * (-80))) / (2 * 18).

r = (-36 ± √(1296 + 5760)) / 36.

r = (-36 ± √7056) / 36.

r = (-36 ± 84) / 36.

Два можливих значення r:

1. r₁ = (84 - 36) / 36 = 48 / 36 = 4/3.

2. r₂ = (-84 - 36) / 36 = -120 / 36 = -10/3.

Оскільки радіус не може бути від'ємним, ми вибираємо позитивне значення r₁ = 4/3 см.

Тепер, коли ми знаємо новий радіус (4/3 см), можемо обчислити нову площу поверхні кулі:

S = 4πr^2,

де S - площа поверхні кулі, π - число Пі, r - радіус.

Початкова площа поверхні кулі була S₀ = 4πr₀^2, де r₀ - початний радіус.

Нова площа поверхні кулі буде S₁ = 4π(4/3)^2 = 16π/9 см^2.

Тепер знайдемо різницю між новою та початковою площею поверхні кулі:

ΔS = S₁ - S₀ = (16π/9 - 4πr₀^2).

Якщо у вас є значення початкового радіусу r₀, ви можете підставити його в цю формулу, щоб знайти точну різницю.