Question

Помогите пожалуйста с геометрией Диаметры основания усечённого конуса равны 36 и 26 см. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите высоту конуса.

Answer 1

Ответ:

5$\sqrt{3}$ cм

Объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи используем геометрические свойства усеченного конуса и тригононметрические соотношения.

Обозначим:

• $r_1$ как радиус большего основания (36 см),
• $r_2$ как радиус меньшего основания (26 см),
• $h$ как высоту усеченного конуса,
• $l$ как образующую конуса.

Известно, что образующая ($l$) наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями для связи $l$, $h$ и угла наклона 60 градусов:

$l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$ (1)

Из геометрических свойств усеченного конуса, образующая связана с радиусами оснований и углом наклона следующим образом:

$l = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(60^\circ)}$ (2)

Подставим (2) в (1) и решим уравнение относительно $h$:

$\sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(60^\circ)}$

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

$h^2 + (r_1 - r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(60^\circ)$

Раскрываем косинус 60 градусов ($\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$) и упрощаем выражение:

$h^2 + (r_1 - r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 - r_1r_2$

Теперь выразим $h$ через $r_1$ и $r_2$:

$h = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - r_1r_2 - (r_1 - r_2)^2}$

Подставим значения $r_1 = 36$ см и $r_2 = 26$ см:

$h = \sqrt{36^2 + 26^2 - 36 \times 26 - (36 - 26)^2}$

Вычислим $h$:

$h \approx \sqrt{1296 + 676 - 936 - 100}$ $h \approx \sqrt{936}$ $h \approx 30 \text{ см}$