Question

Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 60. Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1. Найдите радиус большего основания этого усеченного конуса

Answer 1

Ответ:

$\boxed{OB = 2}$

Объяснение:

Дано: BC = 2 см, ∠CBO = 60°, KC =  1, OK - ось конуса

Найти: OB - ?

Решение:

Осевым сечением усеченного конуса является трапеция, тогда KOBC - трапеция, а так как по условию OK - ось конуса, а ось конуса является и высотой по свойствам усеченного конуса, тогда KOBC - прямоугольная трапеция.

Проведем из точки C на сторону OB высоту трапеции в точку H. Так как CH ⊥ OB по построению, и OK ⊥ OB, то по теореме OK║CH. KOBC - трапеция ⇒ её основания параллельны, KC║OB. Так как KC║OB и OK║CH, то по определению четырехугольник KOHC - параллелограмм.

Так как KOHC - параллелограмм ⇒ OH = KC (по свойству параллелограмма). Так как CH ⊥ OB по построению ⇒ ΔCHB - прямоугольный и по по определению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:$\cos \angle CBH = \dfrac{BH}{BC} \Longrightarrow BH = BC \cdot \cos \angle CBH = 2 \cdot \cos 60^{\circ} = 2 \cdot 0,5 = 1$.

По основному свойству отрезка:

OB = OH + BH = KC + BH = 1 + 1 = 2.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать геометрические свойства усеченного конуса. Обозначим следующие величины:

• $R$ - радиус большего основания усеченного конуса.
• $r$ - радиус меньшего основания усеченного конуса (как уже указано, $r = 1$ см).
• $l$ - образующая усеченного конуса (в данной задаче $l = 2$ см).
• $h$ - высота усеченного конуса.

Сначала найдем высоту $h$ усеченного конуса. Для этого можно использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном образующей конуса ($l$), радиусом большего основания ($R$) и высотой ($h$):

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{R - r}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, мы можем решить это уравнение:

$\sqrt{3} = \frac{h}{R - 1}$

Теперь мы можем выразить $h$ следующим образом:

$h = \sqrt{3}(R - 1)$

Теперь у нас есть выражение для $h$. Мы также знаем, что образующая $l$ связана с радиусами $R$ и $r$ следующим образом:

$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$

Подставим значение $h$ в это уравнение:

$2 = \sqrt{(\sqrt{3}(R - 1))^2 + (R - 1)^2}$

Теперь, решая это уравнение для $R$, мы найдем радиус большего основания $R$:

$4 = (\sqrt{3}(R - 1))^2 + (R - 1)^2$

Раскроем скобки и упростим:

$4 = 3(R^2 - 2R + 1) + (R^2 - 2R + 1)$

$4 = 4R^2 - 8R + 4$

Теперь поделим обе стороны на 4:

$1 = R^2 - 2R + 1$

Вычитаем 1 из обеих сторон:

$0 = R^2 - 2R$

Теперь можно решить это квадратное уравнение:

$R^2 - 2R = 0$

$R(R - 2) = 0$

Из этого уравнения видно, что либо $R = 0$, либо $R = 2$. Однако, так как $R$ - радиус большего основания, он не может быть равен 0, поэтому:

$R = 2$ см.

Итак, радиус большего основания усеченного конуса равен 2 см.