Question

Пусть AK, BL, CN – биссектрисы треугольника ABC, I – точка их пересечения. Известно,что отношения площадей треугольников BKN и CLK к площади треугольника ABC равны,соответственно, 1/8 и 7/32, а отношение IK:AI равно 1/4. Найдите отношение площади треугольника ANL к площади треугольника ABC.

Answer 1

Отношение площадей треугольников с равным углом равно отношению произведений прилежащих сторон.

S BKN/S ABC =BN*BK/BA*BC =BN/BC *BK/BA

По теореме о биссектрисе

BN/BC =IN/CI

BK/BA =IK/AI

S BKN/S ABC =IN/CI *IK/AI => 1/8 =IN/CI *1/4 => IN/CI =1/2

Аналогично

S CLK/S ABC =IL/BI *IK/AI => 7/32 =IL/BI *1/4 => IL/BI =7/8

S ANL/S ABC =IN/CI *IL/BI =1/2 *7/8 =7/16

Answer 2

Давайте обозначим площади треугольников следующим образом:

Площадь треугольника BKN = S1 Площадь треугольника CLK = S2 Площадь треугольника ABC = S

Известно, что отношение S1 к S равно 1/8 и отношение S2 к S равно 7/32. То есть:

S1/S = 1/8 S2/S = 7/32

Теперь давайте введем переменные для отношения IK к AI. Пусть IK = x, а AI = 4x. Тогда:

IK/AI = x/(4x) = 1/4

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (S1/S, S2/S) и одним уравнением с одной неизвестной (x). Мы можем решить эту систему уравнений.

Из первого уравнения (S1/S = 1/8) мы можем выразить S1:

S1 = (1/8)S

Из второго уравнения (S2/S = 7/32) мы можем выразить S2:

S2 = (7/32)S

Теперь, используя третье уравнение (IK/AI = 1/4), мы знаем, что x/(4x) = 1/4, что равносильно x = 1.

Теперь, когда мы знаем x, мы можем найти AI:

AI = 4x = 4 * 1 = 4

Теперь мы готовы найти отношение площади треугольника ANL к площади треугольника ABC.

Обратим внимание на треугольник ANL. Он ограничен биссектрисами AK, BL и CN. Мы знаем, что отношение IK к AI равно 1/4, и AI равно 4. Поэтому IK равно 1.

Теперь мы можем применить теорему о биссектрисе в треугольнике ABC:

AN/NC = AK/KC = IK/AI = 1/4

Теперь мы знаем отношение AN к NC. Давайте обозначим AN как a и NC как 4a (с учетом отношения 1/4). Таким образом, AN = a, NC = 4a.

Теперь давайте рассмотрим площади треугольников ANL и ABC:

Площадь треугольника ANL = (1/2) * a * 4a = 2a^2 Площадь треугольника ABC = S

Наконец, найдем отношение площади треугольника ANL к площади треугольника ABC:

(Площадь треугольника ANL) / (Площадь треугольника ABC) = (2a^2) / S

Теперь нам нужно выразить a^2 в терминах S. Мы можем использовать известные отношения S1/S и S2/S:

S1 = (1/8)S S2 = (7/32)S

Сумма площадей S1 и S2 равна площади треугольника ABC:

S1 + S2 = S

Подставим значения S1 и S2:

(1/8)S + (7/32)S = S

Умножим оба слагаемых на 32, чтобы избавиться от дробей:

4S + 7S = 32S

11S = 32S

Теперь выразим S через S1 и S2:

S = 32S1/S2

Теперь мы можем выразить a^2 через S1 и S2:

a^2 = (S1/S) * (S2/S)

Подставим значения S1 и S2:

a^2 = ((1/8)S) / (32S1/S2)

Упростим выражение:

a^2 = (1/8) * (S2/S1)

Теперь мы можем найти отношение площади треугольника ANL к площади треугольника ABC:

(2a^2) / S = 2 * ((1/8) * (S2/S1)) / (32S1/S2)

Умножим числитель и знаменатель на 8 и S2/S1:

(2 * (1/8) * (S2/S1)) / (32S1/S2) = (1/4) * (S2/S1) * (S2/S1)

Теперь мы знаем, что S2/S1 = 7/32 (известное отношение):

(1/4) * (7/32) * (7/32) = (7/32) * (7/32) / 4 = (49/1024) / 4 = 49/4096

Таким образом, отношение площади треугольника ANL к площади треугольника ABC равно 49/4096.