Question

Пусть AK, BL, CN – биссектрисы треугольника ABC, I – точка их пересечения. Известно, что отношения площадей треугольников ANL, BKN и CLK к площади треугольника ABC равны, соответственно, 7/39, 9/65 и 7/15. Найдите отношение IK:AI.

Answer 1

Теорема о биссектрисе

IK/AI =BK/AB =CK/AC =x

IL/BI =AL/AB =CL/BC =y

IN/CI =BN/BC =AN/AC =z

Площади треугольников с равным углом

S(ANL)/S(ABC) =AN*AL/AB*AC =7/39 =yz

S(BKN)/S(ABC) =BK*BN/AB*BC =9/65 =xz

S(CLK)/S(ABC) =CL*CK/AC*BC =7/15 =xy

xy*xz/yz =x^2 =7/15 *9/65 *39/7 => x=3/5

IK:AI =3:5

Answer 2

Обозначим площади треугольников следующим образом:

Площадь треугольника ANL: S₁ Площадь треугольника BKN: S₂ Площадь треугольника CLK: S₃ Площадь треугольника ABC: S

Известно, что:

S₁/S = 7/39 S₂/S = 9/65 S₃/S = 7/15

Также обозначим отношение IK:AI как x.

Так как точка I является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC, она является центром вписанной окружности этого треугольника. Это означает, что отношение площадей треугольников ABC, BCI и ABI равно отношению радиусов вписанных окружностей:

S/S₂ = (BC/BI)² S/S₁ = (AC/AI)²

Подставим данные из условия:

S/S₂ = (BC/BI)² = (1 / (9/65))² = (65/9)² S/S₁ = (AC/AI)² = (1 / (7/39))² = (39/7)²

У нас есть также:

S/S₃ = (AB/AL)²

Теперь суммируем все три уравнения:

(S/S₂) + (S/S₁) + (S/S₃) = (65/9)² + (39/7)² + (AB/AL)²

Учитывая, что S/S₂ = 9/65 и S/S₁ = 39/7 по условию, мы можем записать:

(9/65) + (39/7) + (AB/AL)² = (65/9)² + (39/7)² + (AB/AL)²

(AB/AL)² = (65/9)² + (39/7)² - (9/65) - (39/7)

Теперь найдем отношение IK:AI:

x = IK/AI = (IK/IL) * (IL/AI) = (S₂/S) * (S/S₁)

Подставим известные значения:

x = (9/65) * (39/7) = 3/65

Итак, отношение IK:AI равно 3/65.