Question

1 Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины B, делит основание AD на отрезки длиной 5 и 25. Найди длину основания BC 2.Определи длину меньшего основания равнобедренной трапеции ABCD, если боковая сторона равна 10 см, угол между боковой стороной и высотой равен 30, а большее основание равно 17 см.

Answer 1

Объяснение:

Для решения этих задач воспользуемся свойством равнобедренной трапеции:

• Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит большее основание на части, меньшая из которых равна полуразности оснований, а большее - полусумме оснований.

1. Дано: АВСD - равнобедренная трапеция.

ВН = 5; НD = 25

Найти: ВС

Решение:

По свойству равнобедренной трапеции:

$\displaystyle AH=\frac{AD-BC}{2} \\\\5=\frac{5+25-BC}{2} \\\\10=30-BC\\\\BC=20$

2. Дано: ABCD - равнобедренная трапеция.

АВ = 10;

ВН - высота;

∠АВН = 30°;

AD = 17 см.

Найти: ВС

Решение:

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.

∠АВН = 30°;

Катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы.

⇒ АН = 10 : 2 = 5

По свойству равнобедренной трапеции:

$\displaystyle AH = \frac{AD-BC}{2}\\\\5=\frac{17-BC}{2}\\\\10=17-BC\\\\BC = 7$

Answer 2

1. Пусть высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины B, равна h. Также из условия известно, что AD делит основание на отрезки длиной 5 и 25. Пусть эти отрезки обозначаются как x и y соответственно.

Согласно условию, x + y = 30 (так как сумма длин отрезков равна длине основания).

Также, по свойству подобных треугольников, можно записать отношение длин боковой стороны и высоты:

h/x = h/y

Из этого отношения можно выразить x через y:

x = (h/y) * x

Теперь мы можем составить систему уравнений:

x + y = 30 x = (h/y) * x

Решим эту систему уравнений. Подставим второе уравнение в первое:

(h/y) * x + y = 30

Раскроем скобки:

hx/y + y = 30

Перенесем все слагаемые с y на одну сторону:

hx/y = 30 - y

Умножим обе части уравнения на y:

hx = 30y - y^2

Теперь подставим значение x из второго уравнения:

(h/y) * x = 30 - y

(h/y) * ((h/y) * x) = 30 - y

(h^2/y^2) * x = 30 - y

hx = 30y - y^2

Таким образом, получаем уравнение:

hx = 30y - y^2

Теперь, зная, что x = 5 и y = 25, мы можем найти значение h:

5h = 30 * 25 - 25^2

5h = 750 - 625

5h = 125

h = 125 / 5

h = 25

Таким образом, высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины B, равна 25.

Чтобы найти длину основания BC, можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

BC^2 = AB^2 + AC^2

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC.

Пусть AB = AC = x. Тогда:

BC^2 = x^2 + x^2

BC^2 = 2x^2

BC = √(2x^2)

BC = √(2 * 17^2)

BC = √(2 * 289)

BC = √578

BC ≈ 24.08

Таким образом, длина основания BC примерно равна 24.08.

2. Пусть меньшее основание равнобедренной трапеции ABCD обозначается как x. Также из условия известно, что боковая сторона равна 10 см, угол между боковой стороной и высотой равен 30 градусам, а большее основание равно 17 см.

Из свойств равнобедренной трапеции, можно сказать, что угол между боковой стороной и основанием ABCD также равен 30 градусам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE, где AB - высота, BE - боковая сторона, AE - половина основания ABCD (т.е. x/2).

Так как угол между боковой стороной и высотой равен 30 градусам, то мы можем применить соотношение тангенса:

tg(30) = AB/BE

1/√3 = AB/10

AB = 10/√3

Также, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, где AB - гипотенуза, AC - катет (x/2), BC - катет (17 - x/2), можно записать:

AB^2 = AC^2 + BC^2

(10/√3)^2 = (x/2)^2 + (17 - x/2)^2

100/3 = x^2/4 + (289 - 17x + x^2/4)

Упростим это уравнение:

100/3 = 5x^2/4 - 17x + 289

Умножим обе части уравнения на 12:

400 = 15x^2 - 68x + 3468

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

15x^2 - 68x + 3068 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение. Решениями будут значения x, одно из которых будет меньше, а другое - больше.

x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

x1,2 = (68 ± √(68^2 - 4 * 15 * 3068)) / (2 * 15)

x1,2 = (68 ± √(4624 - 183360)) / 30

x1,2 = (68 ± √(-178736)) / 30

Так как подкоренное выражение отрицательное, то действительных решений у этого квадратного уравнения нет. Это означает, что меньшее основание равнобедренной трапеции не существует.