Question

Вершинами ∆A1B1C1 є середина сторін ∆ABC. Знайти відношення площі ∆A1B1C1 до площі ∆ABC

Answer 1

Ответ:

1:4

Объяснение:

Пусть А1 середина АВ.   В1 - середина ВС, а С1- середина АС.

Тогда А1В1 средняя линия треугольника и А1В1 II AC   кроме того

А1В1=1/2 *AC  (  по свойству средней линии)

Аналогично А1С1 II BC     A1C1 =1/2*BC   ,    C1B1 II AB  C1B1=1/2*AB.

Тогда  ΔА1В1С1 подобен ΔСАB  (по  трем сторонам).  Коэффициент подобия из сказанного ранее =1/2.

Тогда S(ΔА1В1С1)= k² * S(ΔСАB )= (1/2)²*S(ΔCAB)=1/4* S(ΔCAB)

Answer 2

Для знаходження відношення площі ∆A1B1C1 до площі ∆ABC можна використовувати властивість, що ця площа відноситься як квадрат сторінки ∆A1B1C1 до квадрату сторінки ∆ABC.

Оскільки ∆A1B1C1 є серединою сторін ∆ABC, то сторінки ∆ABC діляться пополам сторінами ∆A1B1C1.

Зафіксуємо сторону ∆ABC та позначимо її як "a". Тоді сторони ∆A1B1C1 будуть рівні a/2.

Площу ∆ABC можна знайти за допомогою формули для площі трикутника:

Площа ∆ABC = (1/2) * a * h, де "h" - висота ∆ABC.

Також, площу ∆A1B1C1 можна знайти за допомогою аналогічної формули:

Площа ∆A1B1C1 = (1/2) * (a/2) * h1, де "h1" - висота ∆A1B1C1.

Тепер, для знаходження відношення площі ∆A1B1C1 до площі ∆ABC, поділимо площу ∆A1B1C1 на площу ∆ABC:

(Площа ∆A1B1C1) / (Площа ∆ABC) = [(1/2) * (a/2) * h1] / [(1/2) * a * h] = (1/2) * (a/2) * h1 / (1/2) * a * h.

За спрощенням виразу, отримуємо:

(1/2) * (a/2) * h1 / (1/2) * a * h = (1/2) * (a/2) * h1 * (2/1) * (1/a) * (1/2) * (1/h) = (1/8) * h1 / h.

Зауважте, що (1/8) - це константа, тому відношення площі ∆A1B1C1 до площі ∆ABC дорівнює відношенню висоти ∆A1B1C1 (h1) до висоти ∆ABC (h), помноженому на константу (1/8):

(Площа ∆A1B1C1) / (Площа ∆ABC) = (1/8) * (h1 / h).

Це і є відношенням площі ∆A1B1C1 до площі ∆ABC.